Перпендикулярни линии се появяват в почти всяка геометрична задача. Понякога перпендикулярността на правите е известна от условието, а в други случаи перпендикулярността на правите трябва да се докаже. За да се докаже перпендикулярността на две прави линии, достатъчно е да се покаже, използвайки всякакви геометрични методи, че ъгълът между правите линии е равен на деветдесет градуса.
Как да отговоря на въпроса „правите перпендикулярни ли са“, ако са известни уравненията, които определят тези линии в равнина или в триизмерно пространство?
За да направите това, трябва да използвате необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на две прави. Нека го формулираме под формата на теорема.
Теорема.
аИ bнеобходимо и достатъчно е векторът на посоката да е прав абеше перпендикулярен на насочващия вектор на правата линия b.
Доказателството на това условие за перпендикулярност на правите се основава на дефиницията на насочващия вектор на правата и на дефиницията на перпендикулярните прави.
Да добавим конкретика.
Нека на равнината е въведена правоъгълна декартова координатна система Оксии са дадени уравненията на права върху равнина от някакъв тип, определящи линиите аИ b. Нека обозначим векторите на посоката на правите АИ bкакто и съответно. Чрез уравнения на прави аИ bможем да определим координатите на насочващите вектори на тези прави - получаваме и . След това, за перпендикулярността на линиите аИ bНеобходимо и достатъчно е условието за перпендикулярност на векторите и да е изпълнено, тоест скаларното произведение на векторите и да е равно на нула: 
.
Така, аИ bв правоъгълна координатна система Оксина равнината има формата , където и са векторите на посоката на линиите аИ bсъответно.
Това условие е удобно за използване, когато координатите на насочващите вектори на прави линии се намират лесно, а също и когато правите линии аИ bсъответстват на канонични уравнения на права върху равнина или параметрични уравнения на права върху равнина.
Пример.
В правоъгълна координатна система Оксидават се три точки. Перпендикулярни ли са линиите? ABИ AC?
Решение.
Векторите и са векторите на посоката на правите ABИ AC. Позовавайки се на координатите на статията на вектор въз основа на координатите на началната и крайната му точка, ние изчисляваме 
. Вектори и са перпендикулярни, тъй като 
. Така необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на правите е изпълнено ABИ AC. Следователно, направо ABИ ACперпендикулярен.
Отговор:
Да, правите линии са перпендикулярни.
Пример.
Дали правите и 
перпендикулярно?
Решение.
Насочващият вектор е права линия и е насочващият вектор на права линия . Нека изчислим скаларното произведение на векторите и: 
. Той е различен от нула, следователно векторите на посоката на линиите не са перпендикулярни. Това означава, че условието за перпендикулярност на линиите не е изпълнено, следователно оригиналните линии не са перпендикулярни.
Отговор:
не, линиите не са перпендикулярни.
по същия начин, необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на линиите аИ bв правоъгълна координатна система Oxyzв триизмерното пространство има формата 
, Където 
И 
- насочващи вектори на прави линии аИ bсъответно.
Пример.
Перпендикулярни ли са линиите, определени в правоъгълна координатна система? Oxyzв триизмерното пространство чрез уравнения 
И ?
Решение.
Числата в знаменателите на каноничните уравнения на права в пространството са съответните координати на насочващия вектор на правата. А координатите на насочващия вектор на правата, който се задава от параметричните уравнения на правата в пространството, са коефициентите на параметъра. По този начин, 
и са насочващите вектори на дадените прави линии. Нека разберем дали са перпендикулярни: 
. Тъй като скаларното произведение е нула, тези вектори са перпендикулярни. Това означава, че условието за перпендикулярност на дадените прави е изпълнено.
Отговор:
правите линии са перпендикулярни.
За проверка на перпендикулярността на две прави в една равнина има други необходими и достатъчни условия за перпендикулярност.
Теорема.
За перпендикулярност на линиите аИ bна равнината е необходимо и достатъчно нормалният вектор да е права линия абеше перпендикулярен на нормалния вектор на правата b.
Посоченото условие за перпендикулярност на линиите е удобно за използване, ако с помощта на дадените уравнения на линиите могат лесно да се намерят координатите на нормалните вектори на линиите. Това твърдение съответства на общото уравнение на правата линия на формата 
, уравнението на права в сегменти и уравнението на права с ъглов коефициент.
Пример.
Уверете се, че е прав 
и перпендикулярно.
Решение.
Като се имат предвид уравненията на линиите, лесно е да се намерят координатите на нормалните вектори на тези линии. – вектор на нормална линия . Нека пренапишем уравнението във формата 
, откъдето се виждат координатите на нормалния вектор на тази права: .
Векторите и са перпендикулярни, тъй като тяхното скаларно произведение е равно на нула: 
. Така е изпълнено необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на дадените прави, тоест те са наистина перпендикулярни.
По-специално, ако е директно ана равнината определя уравнението на права линия с ъглов коефициент от формата , а правата линия b– от вида , то нормалните вектори на тези прави имат съответно координати и , а условието за перпендикулярност на тези прави се свежда до следната връзка между ъгловите коефициенти .
Пример.
Правите и перпендикулярни ли са?
Решение.
Наклонът на права линия е равен на , а наклонът на права линия е равен на . Произведението на ъгловите коефициенти е равно на минус едно, следователно линиите са перпендикулярни.
Отговор:
дадените прави са перпендикулярни.
Може да се посочи още едно условие за перпендикулярност на правите в равнина.
Теорема.
За перпендикулярност на линиите аИ bна равнина е необходимо и достатъчно насочващият вектор на една права и нормалният вектор на втората права да са колинеарни.
Това условие очевидно е удобно за използване, когато координатите на насочващия вектор на една права и координатите на нормалния вектор на втората права се намират лесно, т.е. когато една права е дадена от канонично уравнение или параметрични уравнения на права на равнина, а вторият или чрез общо уравнение на права, или уравнение на права в сегменти, или уравнение на права линия с ъглов коефициент.
Пример.
Прави линии и перпендикулярни ли са?
Решение.
Очевидно е нормалният вектор на правата и е векторът на посоката на правата. Векторите и не са колинеарни, тъй като за тях условието за колинеарност на два вектора не е изпълнено (няма такова реално число T, при което). Следователно дадените прави не са перпендикулярни.
Отговор:
линиите не са перпендикулярни.
21. Разстояние от точка до права.
Разстоянието от точка до линия се определя от разстоянието от точка до точка. Нека покажем как се прави.
Нека е дадена права линия на равнина или в триизмерно пространство аи точка М 1, а не по права линия а. Нека начертаем през точката М 1директен b, перпендикулярна на правата а. Нека означим пресечната точка на правите аИ bкак H 1. Линеен сегмент M 1 H 1Наречен перпендикулярен, изтеглен от точката М 1към права линия а.
Определение.
Разстояние от точката М 1към права линия а наричаме разстоянието между точките М 1И H 1.
Въпреки това, най-често срещаната дефиниция на разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра.
Определение.
Разстояние от точка до линияе дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена права.
Това определение е еквивалентно на първото определение на разстоянието от точка до права.
Моля, обърнете внимание, че разстоянието от точка до линия е най-малкото от разстоянията от тази точка до точките на дадена линия. Нека го покажем.
Нека го вземем на права линия аточка Q, несъвпадащ с точката М 1. Линеен сегмент M 1 QНаречен наклонен, изтеглен от точката М 1към права линия а. Трябва да покажем, че перпендикулярът, прекаран от точката М 1към права линия а, по-малко от всеки наклон, изчертан от точката М 1към права линия а. Вярно е: триъгълник M 1 QH 1правоъгълник с хипотенуза M 1 Q, а дължината на хипотенузата винаги е по-голяма от дължината на който и да е от катетите, следователно, 
.
22. Равнина в пространството R3. Уравнение на равнина.
Равнина в декартова правоъгълна координатна система може да бъде дадена с уравнението, 
което се нарича общо уравнениесамолет.
Определение.Векторът е перпендикулярен на равнината и се нарича неин нормален вектор.
Ако в правоъгълна координатна система са известни координатите на три точки, които не лежат на една права, тогава уравнението на равнината се записва като: 
.
След като изчислим тази детерминанта, получаваме общото уравнение на равнината.
Пример.Напишете уравнението на равнината, минаваща през точките.
Решение:
Уравнение на равнината: .
23. Изследване на общото уравнение на равнината.
Определение 2. Всеки вектор, перпендикулярен на равнина, се нарича нормален вектор на тази равнина.
Ако е известна фиксирана точка М 0 (х 0 , г 0 , z 0), лежаща в дадена равнина, а векторът е перпендикулярен на дадена равнина, тогава уравнението на равнината, минаваща през точката М 0 (х 0 , г 0 , z 0), перпендикулярен на вектора, има формата
А(х-х 0)+Б(у-у 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)
Нека покажем, че уравнение (3.22) е общото уравнение на равнината (3.21). За да направите това, отворете скобите и поставете свободния термин в скоби:
.Axe + By+ Cz +(-Брадва 0 -От-Cz 0)= 0
Като определи д = -Брадва 0 -От-Cz 0, получаваме уравнението Ax + By + Cz + D= 0.
Задача 1.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка А, перпендикулярна на вектора, ако А(4, -3, 1), б(1, 2, 3).
Решение.Нека намерим нормалния вектор на равнината:
За да намерим уравнението на равнината, използваме уравнение (3.22):
Отговор: -3х + 5г + 2z + 25 = 0.
Задача 2.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка М 0 (-1, 2, -1), перпендикулярно на оста OZ.
Решение.Като нормален вектор на желаната равнина можете да вземете всеки вектор, лежащ върху оста OZ, например, след това уравнението на равнината
Отговор: z + 1 = 0.
24. Разстояние от точка до равнина.
Разстоянието от точка до равнина се определя чрез разстоянието от точка до точка, едното от които е дадена точка, а другото е проекцията на дадена точка върху дадена равнина.
Нека е дадена точка в триизмерното пространство М 1и самолет. Нека начертаем през точката М 1директен а, перпендикулярна на равнината. Нека означим пресечната точка на правата аи самолети като H 1. Линеен сегмент M 1 H 1Наречен перпендикулярен, отпадна от точката М 1до равнина и точка H 1 – основа на перпендикуляра.
Определение.
е разстоянието от дадена точка до основата на перпендикуляр, прекаран от дадена точка към дадена равнина.
Най-често срещаната дефиниция на разстоянието от точка до равнина е следната.
Определение.
Разстояние от точка до равнинае дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена равнина.
Трябва да се отбележи, че разстоянието от точката М 1до така определената равнина е най-малкото от разстоянията от дадена точка М 1до всяка точка на самолета. Наистина, нека точката H 2лежи в равнината и е различна от точката H 1. Очевидно триъгълник M 2 H 1 H 2е правоъгълна, в нея M 1 H 1– крак и M 1 H 2– хипотенуза, следователно, 
. Между другото, сегментът M 1 H 2Наречен наклонен, изтеглен от точката М 1до самолета. И така, перпендикуляр, прекаран от дадена точка към дадена равнина, винаги е по-малък от наклонен, прекаран от същата точка към дадена равнина.
Ако една права минава през две дадени точки ,
после нея уравнениетонаписана във формуляра : 
.
Определение.Векторът се нарича водачивектор на права, ако е успореден или й принадлежи.
Пример.Напишете уравнението на права, минаваща през две дадени точки 
.
Решение: Използваме общата формула на права, минаваща през две дадени точки: - канонично уравнение на права, минаваща през точки и . Векторът е вектор с права посока.
26. Относително разположение на линиите в пространството R3.
Нека да преминем към опциите за взаимното разположение на две линии в пространството.
Първо, две прави могат да съвпадат, тоест да имат безкрайно много общи точки (поне две общи точки).
Второ, две прави в пространството могат да се пресичат, тоест да имат една обща точка. В този случай тези две линии лежат в някаква равнина на триизмерното пространство. Ако две прави се пресичат в пространството, тогава стигаме до концепцията за ъгъл между пресичащите се прави.
Трето, две прави в пространството могат да бъдат успоредни. В този случай те лежат в една равнина и нямат общи точки. Препоръчваме ви да проучите статията успоредни прави, успоредност на прави.
След като дадохме определението за успоредни прави в пространството, трябва да поговорим за векторите на посоката на права линия поради тяхната важност. Всеки ненулев вектор, лежащ на тази права или на права, която е успоредна на тази, ще се нарича вектор на посоката на правата. Векторът на посоката на права линия много често се използва при решаване на задачи, включващи права линия в пространството.
И накрая, две линии в триизмерното пространство могат да се пресичат. Две прави в пространството се наричат коси, ако не лежат в една и съща равнина. Това взаимно разположение на две прави линии в пространството ни води до концепцията за ъгъл между пресичащи се прави линии.
От особено практическо значение е случаят, когато ъгълът между пресичащи се или пресичащи се линии в триизмерното пространство е равен на деветдесет градуса. Такива линии се наричат перпендикулярни (вижте статията перпендикулярни линии, перпендикулярност на линиите).
27. Относителното разположение на права линия и равнина в пространството R3.
Една права линия може да лежи на дадена равнина, да бъде успоредна на дадена равнина или да я пресича в една точка, вижте следващите фигури.
Ако , то това означава, че . И това е възможно само когато правата лежи на равнината или е успоредна на нея. Ако една права лежи на равнина, тогава всяка точка от правата е точка от равнината и координатите на всяка точка от правата удовлетворяват уравнението на равнината. Следователно е достатъчно да се провери дали точката лежи на равнината. Ако , тогава точка 
- лежи на равнината, което означава, че самата права лежи на равнината.
Ако , a , то точката от правата не лежи на равнината, което означава, че правата е успоредна на равнината.
Теоремата е доказана.
Дефиниция на перпендикулярни линии
Перпендикулярни линии.
Нека a и b са прави линии, пресичащи се в точка A (фиг. 1). Всяка от тези прави е разделена от точка А на две полуправи. Полуправите на една права образуват четири ъгъла с полуправите на друга права. Нека алфа е един от тези ъгли. Тогава всеки от останалите три ъгъла ще бъде или съседен на алфа ъгъла, или вертикален на алфа ъгъла.
От това следва, че ако един от ъглите е прав, то и останалите ъгли ще са прави.В този случай казваме, че правите се пресичат под прав ъгъл.
Определение.
Две прави се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (фиг. 2).
Перпендикулярността на правите се обозначава със знака ⊥ Записът a ⊥ b гласи: Правата a е перпендикулярна на правата b.
Теорема.
През всяка точка от една права можете да начертаете права, перпендикулярна на нея, и то само една.
Доказателство.
Нека a е дадена права и A е дадена точка върху нея. Нека означим с ос една от полуправите на правата a с начална точка A (фиг. 3). Нека отделим ъгъл (a1b1), равен на 90° от полуправата a1.
Тогава правата, съдържаща лъч b1, ще бъде перпендикулярна на правата a.
Да приемем, че има друга права, минаваща през точка A и перпендикулярна на правата a. Нека означим с c1 полуправата на тази права, лежаща в една и съща полуравнина с лъча b2. Ъгли (a1b1) и (a1c1), всеки равен на 90°, са разположени в една полуравнина от полуправата a1. Но само един ъгъл, равен на 90°, може да бъде начертан от полуправата a1 в дадена полуравнина. Следователно не може да има друга права, минаваща през точка A и перпендикулярна на права a. Теоремата е доказана.
Определение.
Перпендикуляр към дадена права е отсечка от права, перпендикулярна на дадена права, чийто един от краищата е в пресечната точка. Този край на отсечката се нарича основа на перпендикуляра.
На фигура 4 е начертан перпендикуляр AB от точка A до права линия a. Точка B е основата на перпендикуляра.
За построяване на перпендикуляр се използва чертожен квадрат (фиг. 5).
Две пресичащи се прави се наричат перпендикулярни (или взаимно перпендикулярни), ако образуват четири прави ъгъла. Перпендикулярността на правите AC и ВD се означава по следния начин: AC ⊥ ВD (да се чете: „Правата AC е перпендикулярна на правата ВD“).
Имайте предвид, че две прави линии, перпендикулярни на третата, не се пресичат (фиг. 6, а). Всъщност нека разгледаме прави AA1 и BB1, перпендикулярни на права PQ (фиг. 6,b). Нека мислено огънем чертежа по правата линия PQ, така че горната част на чертежа да се припокрива с долната. Тъй като прави ъгли 1 и 2 са равни, лъч RA ще припокрива лъч RA1. По същия начин лъч QB ще се припокрива с лъч QB1. Следователно, ако приемем, че линиите AA1 и BB1 се пресичат в точка M, тогава тази точка ще припокрие някаква точка M1, също лежаща на тези линии (фиг. 6, c), и получаваме, че две линии минават през точки M и M1: AA1 и BB1. Но това е невъзможно. Следователно нашето предположение е неправилно и следователно правите AA1 и BB1 не се пресичат. 
Построяване на прави ъгли върху терена
За изграждане на прави ъгли на земята се използват специални устройства, най-простият от които е екерът. Екерът се състои от две пръти, разположени под прав ъгъл и монтирани на триножник (фиг. 7). Гвоздеите се забиват в краищата на прътите, така че правите линии, минаващи през тях, да са взаимно перпендикулярни. За да построите прав ъгъл на земята с дадена страна OA, монтирайте статив с екер, така че отвесът да е точно над точката O, а посоката на една лента съвпада с посоката на лъча OA. Комбинацията от тези посоки може да се извърши с помощта на стълб, поставен върху гредата. След това се начертава права линия в посока на другия блок (права OB на фигура 7). Резултатът е прав ъгъл AOB.
В геодезията се използват по-модерни инструменти, като теодолит, за конструиране на прави ъгли. 
Хоризонтално:
3
. Отсечка от права линия, свързваща точка от кръг с центъра му. 6
. Твърдение, което не изисква доказателство. 9
. Конструкция, система на мислене. 10
. Изглед четириъгълник. 15
. Отсечка от права линия, свързваща две точки на крива. 16
. Мярка за дължина. 17
18
. Пресечната точка на диаметрите на окръжност. 19
. Тригонометрична функция. 20
. Част от кръг. 21
. Древна мярка за дължина.
Вертикално:
1
. Символ на някаква азбука. 2
. Вид успоредник. 4
. Хорда, минаваща през центъра на окръжност. 5
. Геометричен елемент. 7
. Лъч, разделящ ъгъл наполовина. 8
. Символ на гръцката азбука. 10
. Сборът от дължините на страните на триъгълник. 11
. Спомагателно изречение, използвано за доказателство. 12
. Елемент правоъгълен триъгълник. 13
. Една от прекрасните линии на триъгълника. 14
. Тригонометрична функция.
Има такава задача:
В Омагьосаната гора имаше 10 омагьосани извора - номер 1, 2, 3,... 10. Водата на всеки извор не се различаваше по цвят, вкус и мирис от обикновената вода, но беше силна отрова. Този, който я е изпил, е бил обречен - освен ако в рамките на един час след това не е пил вода от източник с по-висок номер (например източници 4-10 са спасили от отровата на източник 3; отровата на 10-ия източник не е оставила шанс на спасение). Първите 9 източника бяха публично достъпни, но източник 10 беше в пещерата на Кашчей Безсмъртния и само Кашчей имаше достъп до него.
И тогава един ден Иван Глупакът предизвика Кашчей на дуел. Условията бяха прости: всеки носи чаша течност със себе си, противниците си разменят чашите и изпиват съдържанието им. И тогава се справят както могат.
Кашчей беше доволен. Разбира се: той ще даде на Иван отрова номер 10 и нищо не може да спаси Иван. А самият той ще изпие дадената от Иван отрова с вода от 10-то изворче - и ще се спаси.
Опитайте се да разработите план за дуел за Иван. Задачата е да останеш жив и да довършиш Kashchei.
Отговор 1.
Убийте Кашчей. Трябва да му се даде не отрова, а чиста вода. Той ще го изпие с отровата си - и е обречен.
Отговор 2.
Не се самоубивайте. Всяка отрова, с изключение на номер 1, също може да бъде противоотрова. Преди да дойдете на дуела, трябва да изпиете нискокачествена отрова. И тогава отрова номер 10, получена от Кашчей в дуел, няма да убие, а ще спаси.
Като цяло идеята е тривиална. Не винаги е възможно едно действие да се претегли изолирано. Едно и също действие може да бъде както отрова, така и противоотрова. Много зависи от фона. Няма да кажа всичко, но несъмнено много.
И когато чуете, че някой ваш познат е направил такава и такава гадост, не бързайте да му лепите етикети. Сигурен ли си, че това са просто гадни неща? Възможно ли е те просто да изглеждат така? Сигурни ли сте, че знаете предисторията на тези действия?
Построяване на перпендикулярна линия
Сега ще се опитаме да построим перпендикулярна права линия с помощта на компас. За това имаме точка O и права линия a.
На първата снимка е показана права, на която лежи точка O, а на втората снимка тази точка не лежи на права a.
Сега нека разгледаме тези две опции поотделно.
1-ви вариант
Първо вземаме компас, поставяме го в центъра на точка O и чертаем окръжност с произволен радиус. Сега виждаме, че тази окръжност пресича права а в две точки. Нека това са точки A и B.
След това вземаме и чертаем окръжности от точки A и B. Радиусът на тези окръжности ще бъде AB, но точка C ще бъде пресечната точка на тези окръжности. Ако си спомняте, в самото начало получихме точки A и B, когато начертахме окръжност и взехме произволен радиус.
В резултат на това виждаме, че желаната перпендикулярна линия минава през точки C и O.
Доказателство
За това доказателство трябва да начертаем отсечки AC и CB. И виждаме, че получените триъгълници са равни: Δ ACO = Δ BCO, това следва от третия критерий за равенство на триъгълниците, т.е. оказва се, че AO = OB, AC = CB и CO е често срещано в конструкцията. Получените ъгли ∠COA и ∠COB са равни и двата имат големина 90°. От това следва, че правата CO е перпендикулярна на AB.
От това можем да заключим, че ъглите, образувани при пресичането на две прави, са перпендикулярни, ако поне един от тях е перпендикулярен, което означава, че такъв ъгъл е равен на 90 градуса и е прав.
2-ри вариант
Сега нека разгледаме варианта за построяване на перпендикулярна права, където дадена точка не лежи на права a.
В този случай, използвайки компас, начертаваме окръжност от точка O с такъв радиус, че тази окръжност пресича права линия a. И нека точките A и B са пресечните точки на тази окръжност с дадена права a.
След това вземаме същия радиус, но начертаваме окръжности, чийто център ще бъдат точки A и B. Поглеждаме фигурата и виждаме, че имаме точка O1, която също е пресечната точка на окръжностите и лежи в полуравнина, но различна от тази, в която се намира точка O.
Следващото нещо, което ще направим, е да начертаем права линия през точки O и O1. Това ще бъде перпендикулярната права линия, която търсихме.
Доказателство
Да приемем, че пресечната точка на правите OO1 и AB е точка C. Тогава триъгълниците AOB и BO1A са равни по третия критерий за равенство на триъгълниците и AO = OB = AO1 = O1B, а AB е често срещан в конструкцията. От това следва, че ъглите OAC и O1AC са равни. Триъгълниците OAC и O1AC, следвайки първия критерий за равенство на триъгълници AO е равен на AO1, а по построение ъглите OAC и O1AC са равни с общ AC. Следователно ъгъл OCA е равен на ъгъл O1CA, но тъй като те са съседни, това означава, че са прави. Следователно заключаваме, че OC е перпендикуляр, който е пуснат от точка O на права a.
Ето как, само с помощта на пергел и линийка, можете лесно да построите перпендикулярни прави линии. И няма значение къде се намира точката, през която трябва да минава перпендикулярът, на сегмент или извън този сегмент, основното в тези случаи е правилното намиране и обозначаване на началните точки A и B.
Въпроси:
- Кои прави се наричат перпендикулярни?
- Какъв е ъгълът между перпендикулярните прави?
- Какво използвате за конструиране на перпендикулярни линии?
В тази статия ще говорим за перпендикулярността на права и равнина. Първо е дадена дефиницията на права, перпендикулярна на равнина, дадени са графична илюстрация и пример и е показано обозначението на права, перпендикулярна на равнина. След това се формулира знакът за перпендикулярност на права линия и равнина. След това се получават условия, които позволяват да се докаже перпендикулярността на права линия и равнина, когато правата линия и равнината са определени с определени уравнения в правоъгълна координатна система в тримерно пространство. В заключение са показани подробни решения на типични примери и задачи.
Навигация в страницата.
Перпендикулярна права и равнина - основна информация.
Препоръчваме ви първо да повторите определението за перпендикулярни прави, тъй като определението за права, перпендикулярна на равнина, е дадено чрез перпендикулярността на линиите.
Определение.
Казват, че правата е перпендикулярна на равнината, ако е перпендикулярна на която и да е права, лежаща в тази равнина.
Можем също да кажем, че една равнина е перпендикулярна на права или права и равнина са перпендикулярни.
За да посочите перпендикулярност, използвайте икона като „“. Тоест, ако права c е перпендикулярна на равнината, тогава можем накратко да запишем .
Пример за линия, перпендикулярна на равнина, е линията, по която се пресичат две съседни стени на стая. Тази линия е перпендикулярна на равнината и на равнината на тавана. Въжето във фитнес залата може да се разглежда и като права линия, перпендикулярна на равнината на пода.
В заключение на този параграф от статията отбелязваме, че ако права линия е перпендикулярна на равнина, тогава ъгълът между правата линия и равнината се счита за равен на деветдесет градуса.
Перпендикулярност на права и равнина - признак и условия на перпендикулярност.
В практиката често възниква въпросът: „Дадените права и равнина перпендикулярни ли са?“ За да отговорите на това има достатъчно условие за перпендикулярност на права и равнина, тоест такова условие, чието изпълнение гарантира перпендикулярността на правата и равнината. Това достатъчно условие се нарича признак за перпендикулярност на права и равнина. Нека го формулираме под формата на теорема.
Теорема.
За да бъдат дадена права и равнина перпендикулярни, е достатъчно правата да е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина.
Доказателството за признака за перпендикулярност на права и равнина можете да разгледате в учебник по геометрия за 10-11 клас.
При решаване на задачи за установяване на перпендикулярността на права и равнина често се използва и следната теорема.
Теорема.
Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, то втората права също е перпендикулярна на равнината.
В училище се разглеждат много задачи, за решаването на които се използва знакът за перпендикулярност на права и равнина, както и последната теорема. Тук няма да се спираме на тях. В този раздел на статията ще се съсредоточим върху прилагането на следното необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на права и равнина.
Това условие може да бъде пренаписано в следната форма.
Позволявам 
е насочващият вектор на линия a, и 
е нормалният вектор на равнината. За да са перпендикулярни правата a и равнината е необходимо и достатъчно 
И : 
, където t е някакво реално число.
Доказателството за това необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на права и равнина се основава на дефинициите за насочващ вектор на права и нормален вектор на равнина.
Очевидно това условие е удобно да се използва за доказване на перпендикулярността на права и равнина, когато координатите на насочващия вектор на правата и координатите на нормалния вектор на равнината във фиксирано триизмерно пространство могат лесно да бъдат намерени . Това важи за случаите, когато са дадени координатите на точките, през които минават равнината и правата, както и за случаите, когато правата се определя от някакви уравнения на права в пространството, а равнината е зададена от уравнение на самолет от някакъв вид.
Нека да разгледаме решенията на няколко примера.
Пример.
Докажете перпендикулярността на правата 
и самолети.
Решение.
Знаем, че числата в знаменателите на каноничните уравнения на права в пространството са съответните координати на вектора на посоката на тази права. По този начин, 
- директен вектор .
Коефициентите на променливите x, y и z в общото уравнение на равнината са координатите на нормалния вектор на тази равнина, т.е. 
е нормалният вектор на равнината.
Нека проверим изпълнението на необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на права и равнина.
защото 
, тогава векторите и са свързани с релацията 
, тоест те са колинеарни. Следователно, направо перпендикулярна на равнината.
Пример.
Перпендикулярни ли са линиите? 
и самолет.
Решение.
Нека намерим насочващия вектор на дадена права линия и нормалния вектор на равнината, за да проверим дали е изпълнено необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на правата и равнината.
Насочващият вектор е прав е
В този урок ще разгледаме перпендикулярността на правите в пространството, перпендикулярността на правата и равнината и успоредните прави, които са перпендикулярни на равнината.
Първо даваме дефиницията на две перпендикулярни линии в пространството и тяхното обозначение. Нека разгледаме и докажем лемата за успоредните прави, перпендикулярни на третата права. След това ще дадем дефиницията на линия, перпендикулярна на равнина, и ще разгледаме свойствата на такава линия, като същевременно помним относителното положение на линията и равнината. След това доказваме пряката и обратната теорема за две успоредни прави, перпендикулярни на равнина.
В края на урока ще решим две задачи за перпендикулярността на правите в паралелепипед и тетраедър.
Тема: Перпендикулярност на права и равнина
Урок: Перпендикулярни прави в пространството. Успоредни прави, перпендикулярни на равнина
В този урок ще разгледаме перпендикулярността на правите в пространството, перпендикулярността на правата и равнината и успоредните прави, които са перпендикулярни на равнината.
Определение. Две прави се наричат перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90°.
Обозначаване. .
Помислете за правите линии АИ b. Линиите могат да се пресичат, пресичат или да са успоредни. За да построите ъгъл между тях, трябва да изберете точка и да прекарате през нея а,и права, успоредна на правата b. Прави и пресичащи се. Ъгълът между тях е ъгълът между правите АИ b.Ако ъгълът е 90 °, тогава прав АИ bперпендикулярен.
Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на третата права, то другата права е перпендикулярна на тази права.
Доказателство:
Нека са дадени две успоредни прави АИ б,и прав с, и . Необходимо е да се докаже, че.
Нека вземем произволна точка М. През точката Мначертайте линия, успоредна на линията Аи права, успоредна на правата ° С(фиг. 2). След това ъгълът AMSе равен на 90°.
Направо bуспоредна на правата Апо условие правата е успоредна на правата Апо конструкция. Това означава прав и bпаралелен.
Имаме, прави и bуспореден, прав си паралелни в конструкцията. И така, ъгълът между линиите bИ с -е ъгълът между прави линии и, т.е. ъгълът AMS, равен на 90°. Така че е направо bИ сса перпендикулярни, както се изисква да се докаже.
Определение. Една права се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина.
Обозначаване. .
1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задачи 5, 6, 7 стр. 54
2. Дайте определението за перпендикулярност на правите в пространството.
3. Равни страни ABИ CDчетириъгълник ABCDперпендикулярна на някаква равнина. Определете вида на четириъгълника.
4. Страната на триъгълника е перпендикулярна на някаква права А.Докажете, че една от средните линии на триъгълника е перпендикулярна на правата А.
В този урок ще повторим теорията и ще докажем теоремата, която показва перпендикулярността на права и равнина.
В началото на урока нека си припомним определението за права, перпендикулярна на равнина. След това ще разгледаме и докажем теоремата, която показва перпендикулярността на права и равнина. За да докажете тази теорема, припомнете си свойството на перпендикулярната ъглополовяща.
След това ще решим няколко задачи за перпендикулярността на права и равнина.
Тема: Перпендикулярност на права и равнина
Урок: Признак за перпендикулярност на права и равнина
В този урок ще повторим теорията и ще докажем теорема-тест за перпендикулярност на права и равнина.
Определение. Направо Асе нарича перпендикулярна на равнината α, ако е перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина.
Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, то тя е перпендикулярна на тази равнина.
Доказателство.
Нека ни е дадена равнина α. В тази равнина има две пресичащи се прави стрИ р. Направо Аперпендикулярно на права линия стри прав р. Трябва да докажем, че линията Ае перпендикулярна на равнината α, тоест тази права a е перпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината α.
Напомняне.
За да докажем това, трябва да си припомним свойствата на ъглополовящата на отсечка. Перпендикулярна ъглополовяща Ркъм сегмента AB- това е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от краищата на сегмента. Това е, ако точката СЪСлежи на ъглополовящата p, тогава AC = BC.
Нека точката ОТНОСНО- точка на пресичане на линията Аи равнина α (фиг. 2). Без загуба на общост ще приемем, че правите линии стрИ рпресичат се в точка ОТНОСНО. Трябва да докажем перпендикулярността на правата Акъм произволна линия мот равнината α.
Нека начертаем през точката ОТНОСНОдиректен л, успоредна на правата м.На права линия Анека оставим настрана сегментите ОАИ ОВ, и ОА = ОВ, тоест точката ОТНОСНО- средата на сегмента AB. Да направим директен П.Л., 
.
Направо Рперпендикулярно на права линия А(от условието), 
(по конструкция). означава, Р AB. Точка Рлежи на права линия Р. означава, RA = PB.
Направо рперпендикулярно на права линия А(от условието), 
(по конструкция). означава, р- ъглополовяща на отсечка AB. Точка Qлежи на права линия р. означава, QA =QB.
Триъгълници ARQИ VRQравни от три страни (RA = PB, QA =QB, PQ-обща страна). Така че ъглите ARQИ VRQса равни.
Триъгълници АП.Л.И BPLравен по ъгъл и две съседни страни (∠ ARЛ= ∠VRL, RA = PB, П.Л.- обща страна). От равенството на триъгълниците получаваме това AL =Б.Л..
Помислете за триъгълник ABL.Той е равнобедрен, защото AL =БЛ.В равнобедрен триъгълник медианата LОе и височината, тоест права линия LОперпендикулярен AB.
Разбрахме това Аперпендикулярно на права линия л,и следователно директен м, Q.E.D.
Точки А, М, Олежат на права, перпендикулярна на равнината α, а точките О, V, SИ длежат в равнината α (фиг. 3). Кои от следните ъгли са прави: ?
Решение
Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярна на равнината α и следователно права линия АДперпендикулярна на всяка права, лежаща в равнината α, включително правата IN. Означава,.
Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на права линия операционна система, Означава,.
Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на права линия ОТНОСНОд, Означава,. Помислете за триъгълник DAO. Триъгълникът може да има само един прав ъгъл. Така че ъгълът ДАМ- не е директен.
Нека разгледаме ъгъла. Направо АДперпендикулярно на права линия ОТНОСНОд, Означава,.
Нека разгледаме ъгъла. Това е ъгъл в правоъгълен триъгълник BMO, не може да бъде прав, тъй като ъгълът меморандум за разбирателство- прав.
Отговор: 
.
В триъгълник ABCдадено: , AC= 6 см, слънце= 8 см, СМ- медиана (фиг. 4). През върха СЪСбеше начертана пряка линия SK, перпендикулярна на равнината на триъгълника ABC, и SK= 12 см Намерете КМ.
Решение:
Нека намерим дължината ABспоред Питагоровата теорема: (cm).
Според свойството на правоъгълен триъгълник средата на хипотенузата е Мна еднакво разстояние от върховете на триъгълника. Това е SM = AM = VM, 
(см).
Помислете за триъгълник KSM. Направо KSперпендикулярна на равнината ABC, което означава KSперпендикулярен СМ. Така че това е триъгълник KSM- правоъгълен. Нека намерим хипотенузата КМот Питагоровата теорема: (cm).
1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задачи 1, 2, 5, 6 стр. 57
2. Определете перпендикулярността на права и равнина.
3. Посочете двойка в куба - ръб и лице, които са перпендикулярни.
4. Точка ДА СЕлежи извън равнината на равнобедрен триъгълник ABCи на еднакво разстояние от точките INИ СЪС. М- средата на основата слънце. Докажете, че линията слънцеперпендикулярна на равнината АКМ.
Зареждане...
