Графики

Колоните възникнаха през осемнадесети век, когато известният математик, Леонард Сулер, се опита да реши сега класическата задача на Königsberg Bridges. По това време в град Кьонигсберг имаше две области, свързани с седемте моста с бреговете на река престол и помежду си, както е показано на фиг. 7.1. 3ADCHA е както следва: Изнесете разходка из града, така че, след като сте преминали точно един път за всеки мост, се върнал на същото място, където започна разходката. Решаването на тази задача, EULER изобразена Königsberg под формата на графика, идентифицирайки върховете си с части от града и ребрата с мостове, които тези части са свързани. Както показваме в § 7.1, Euler успя да докаже, че артикулираният маршрут на града не съществува.

Фигура 7.1. Схема на стария koenigsberg

В тази глава въвеждаме стандартна терминология, използвана в теорията на графиките, и разглобяват няколко специфични задачи, решени с помощта на графики. По-специално, ще се запознаем с класа на графиките, наречени дървета. Дърветата са естествен модел, представляващ данните, организирани в йерархичната система. След дърво, за да се подчертаят отделни елементи и данни за сортиране в дърво, е важна точка за прилагане на усилията в компютърните науки. В допълнението към тази глава ще се справим с сортирането и търсенето на данни, организирани в дърветата.

Графики и терминология

На фиг. 7.1 изобразява седем моста на Königsberg така. Как са били разположени в осемнадесети век. В задачата, на която е публикуван Ойлер, е попитан: Възможно ли е да се намери маршрут, който преминава точно веднъж на всеки от мостата и започва и завършва на същото място на града?

Моделът на задачата е графика,консултации верхин и набор ребратасвързване на върхове. Стих a, b, c и Д. символизират бреговете на реката и острова и ребрата а, Б., ° С., Д,е. и г. Означават седем моста (виж фиг. 7.2). Желаният маршрут (ако съществува) съответства на заобикалянето на ръбовете на графиката по такъв начин, че всеки от тях е само един път. Ребръдът очевидно съответства на пресичането на реката на моста.

Фигура 7.2. Модел на задачата на мостовете на Koenigsberg

Графиката, в която има път, има маршрут, който започва и завършва с един връх, и преминава във всички ръбове на графиката точно веднъж, наречен zyler графика.Последователността на върховете (може би с повторения), през която се нарича желания маршрут, като самия маршрут, се нарича Литератур цикъл. Оперът забеляза, че ако има циклични оценки в колоната, тогава за всеки ръб, водещ до някакъв връх, трябва да има друг ръб, оставяйки този Vertex 1 и да получи такова заключение от това просто наблюдение: ако има цикъл в тази графика В тази графика всеки връх трябва да се приближи до четен брой ребра.

В допълнение, Euler успя да докаже обратното изявление, така че графиката, в която всеки двойка върхове е свързан с някаква последователност от ребра, е ауйлер тогава и само ако всичките му върхове имат дори степен. Степен Стих V. наречен номер δ (v) рибе, тя инцидентни 2 .

Сега вече е очевидно, че в колоната, която симулира задачата на мостовете на Koeenigsberg, цикълът е невъзможен. Наистина, степените на всичките му върхове са странни: δ(Б.) = Δ (в)\u003d Δ (d) \u003d 3 и δ(А.) \u003d 5. С лека ръка на графиките на EULER, подобна на тази, която разследвахме при решаването на задачата на мостовете, започнахме да използваме в решаването на много практически задачи и тяхното обучение се увеличава до значителен регион на математиката.

Прост графикопределено като двойка g \u003d (v, Д)където V е ограничен набор от върхове, и Д.- ограничен набор от ребра и не може да съдържа липс(Ребрата започват и завършват с един връх) и множество ребра(няколко се наричат \u200b\u200bняколко ребра, свързващи същата двойка върхове). Графиката, показана на фиг. 7.2. не е просто, защото например върховете Ии Вте са свързани с две ребра (само тези ребра се наричат \u200b\u200bняколко).

Два върха улавяне и в.в проста графика, наречена в съседствоАко те са свързани с някакъв ръб д.за които го казват инциденттоп U. (и V. ). Така че можем да си представим много Д.ребрата като набор от двойки съседни върхове, като по този начин определят неплаксовото, симетрично отношение върху комплекта В.Липсата на рефлексочност се дължи на факта, че в простата колона няма линия, т.е. ребрата, и двете от които са в един връх. Симетрията на същата връзка изтича от факта, че ръбът д.свързване на върха иот v,свързване I. в.от и(С други думи, ребрата не са ориентирани, т.е. нямат посоки). Единственият ръб на проста графика, свързваща няколко върха улавяне и v,ще обозначим като iV.(или vd).

Logical Matrix на връзката на набора от върхове на графиката, който се поставя от ребрата му, се нарича , съседна матрица. Симетрията на съотношението по отношение на матрицата на съседство m означава, че m симетричен спрямо основния диагонал. И поради нефлексичността на тази връзка на главния диагонал на матрицата m има символ на "L".

Пример 7.1. Графика G (V, E) с множество върхове v \u003d (A, b, c, d, e) и много ребри e \u003d (AB, AE, BC, BD, CE, DE). Напишете матрицата му.

Решение. Графика G е показана на фиг. 7.3.

Фигура 7.3.

Неговата съседна матрица има формата:

За да възстановите графиката, ние достатъчно само тези елементи на съседните матрица, които стоят над главния диагонал.

Subgraph.броят g \u003d (v, e) се нарича графика g '\u003d (v', e '), в която e' c e и v 'c V.

Пример 7.2.Намерете сред графиките H, K и L, показани на фиг. 7.4, графика G. Subgraphs

Решение.Означават върха на графиките G, H и K, както е показано на фиг. 7.5. Графики Н и К са подграфи в g, както могат да се видят от нашите наименования. Count L не е подграч в G, тъй като той има върха на индекса 4, а графиката G не е така.

Маршрутдължина к. в графиката g, така се нарича такава последователност от върхове в. 0 , в. 1 , …, в. к. , какво за всеки i \u003d 1, ..., k двойка в. i. – 1 в. i. Образува ръба на графиката. Ще обозначим такъв път чрез в. 0 в. 1 … в. к. . Например, 1 4 3 2 5 е начин на дължина 4 в графиката g от пример 7.2.

Г. Х.

К. Л.

Фигура 7.4.

Цикълв колоната е обичайно да се обадите на последователността на върховете в. 0 , в. 1 , … , в. к. , всяка двойка, която е краищата на един ръб, и в. 0 = в. 1 И останалите върхове (и ребрата) не се повтарят. С други думи, цикълът е затворен път, преминаващ през всеки отгоре и ръб само веднъж

1 2 1 2 3

Фигура 7.5.

Пример 7.3.Намерете циклите в графиката g от пример 7.2.

Решение.В тази колона има два различни цикъла с дължина 5:

1 3 2 5 4 1 и 1 2 5 4 3 1

Можем да преминем тези цикли в една и съща посока и в другата, като се започне с произволен край на цикъла. В допълнение, в колоната има три различни цикъла на 4:

1 2 5 4 1, 1 2 3 4 1 и 2 5 4 3 2,

и два цикъла на дължина 3:

1 2 3 1 и 1 3 4 1.

Граф, в който няма цикли, наречени acyclic. Структурите на дърветата, които се случват при изчисления, са специален случай на графики на ACIC. По-късно в тази глава ще се справим с тях.

Броя, наречено свързанако някой двойка от неговите върхове свързват някакъв маршрут. Всяка обща графика може да бъде разделена на подграфи, всяка от които ще бъде свързана. Минималният брой такива свързани компоненти се нарича Брой на свързаносттаграфики и обозначени ° С.(Г.) . Въпросите, свързани с връзката, са важни в приложенията на теорията на графите към компютърните мрежи. Следният алгоритъм се използва за определяне на броя на свързаността на графиката.

Алгоритъм за свързване.

Нека g \u003d (v, e) е графика. Алгоритъмът е предназначен да изчисли стойността ° С. = ° С.(Г.), тези. Брой на компонента на свързаността на тази графика G.

V ': \u003d v;

докатоV '≠ Ø.

Изберете y є. В.’

Намерете върхове, свързващи маршрут с y;

Премахнете отгоре отВ."I.

подходящи ръбове на Е;

° С.:= ° С.+1;

Пример 7.4.Проследяване на работата на свързания алгоритъм на графиката, показана на фиг. 7.6.

Фигура 7.6.

Решение.Виж таблица. 7.1.

Таблица 7.1.

Стойности на източника	{1,2,3,4,5,6,7,8}
Избор y \u003d 1
Избор y \u003d 2
Избор y \u003d 7

Така, ° С.(Г.) = 3. Съответните компоненти на свързаността са показани на фиг. 7.7.

5

Теория на графиките - един от обширните раздели на дискретна математика, се използва широко при решаването на икономически и управленски задачи, в програмиране, химията, проектирането и изучаването на електрически вериги, комуникации, психология, психология, социология, лингвистика, други области на знанието. Теория на графиките Систематично и последователно изследва свойствата на графиките, които можем да кажем, че те се състоят от набори от точки и набори от линии, показващи връзки между тези точки. Леонард Юлер (1707-1882) се счита за основател на теорията на графиката (1707-1882), която е решила през 1736 г. задачата на мостовете на Königsberg по това време.

Графики За да се покажат взаимоотношения на комплекти. Нека, например, много А. = {а.1 , а.2 , ... а.н) - Много хора и всеки елемент ще бъде показан като точка. Много Б. = {б.1 , б.2 , ... б.м) - Много лигаменти (прави, дъги, сегменти - без значение). На определението А. Датирането между хората от този набор се дава. Изграждане на графика От точки и лигаменци. Снопове ще свържат двойки хора, които са запознати един с друг. Естествено, броят на приятелите сред някои хора може да се различава от броя на познатите от други хора, а някои може и да не са запознати с никого (такива елементи ще бъдат точки, които не са свързани с други). Така че се оказа графика!

Фактът, че за първи път наричаме "точки" трябва да се наричат \u200b\u200bвърхове на графиката и факта, че те наричат \u200b\u200b"пакети" - краищата на графиката.

Теорията на графиките не отчита спецификата на множествата А. и Б.. Има голям брой различни специфични задачи, когато решават, което може временно да забрави за специфичното съдържание на комплектите и техните елементи. Тази специфичност не засяга проблема за решаване на проблема, независимо от трудността му! Например, когато решават въпроса дали е възможно от точката а. стигам до точката д., движещи се само чрез свързващи точки, независимо дали се занимаваме с хора, градове, цифри и др. Но когато задачата е решена, получаваме решение правилно за всяко съдържание, което е моделирано под формата на графика. Не е изненадващо, че теорията на графиките е един от най-търсените инструменти при създаването на изкуствен интелект: защото изкуственият интелект може да обсъди със събеседника и въпросите на любовта и въпросите на музиката или спорта и въпросите за решаване на различни задачи, и го прави без никакъв преход (превключване), без който в такива случаи не може да направи човек.

И сега строги математически дефиниции на графиката.

Определение 1.Броят се нарича Системата от предмети на произволна природа (върхове) и лигаменци (Roiber), свързващи няколко двойки от тези обекти.

Определение 2.Нека бъде В. - (непразни) множество пикове, елементи в.∈В. - стихове. Графика Г. = Г.(В.) С много върхове В. Има някои полупроводници на двойки: д. = (а., б.) където а.,б.∈В. показващи кои върхове остават свързани. Всяка ал д. = (а., б.) - графика. Много Улавяне - Много Ryubers д. графика. Vershins. а. и б. - крайни точки на реброто д. .

Графики като структура на данните. Широкото използване на теорията на графиките в компютърните науки и информационните технологии се дължи на добавянето на дефинициите на броя като структура на данните. В компютърните науки и информационните технологии броят се определя като нелинейна структура на данните. Какво тогава е линейната структура на данните и как се различават графиките от тях? Линейните структури на данни се характеризират с факта, че са свързани елементите на връзката на тип "обикновен квартал". Линейни структури на данни са например масиви, таблици, списъци, опашки, купчини, линии. За разлика от тях нелинейни структури на данни - тези, в които елементите са разположени на различни нива на йерархия и са разделени на три вида: първоначалното, генерирано и харесва. Така че, графиката е нелинейна структура на данните.

Думата графика на гръцки произход, от думите "пиша", "описвам". От началото на тази статия е известно, че описва графиката: тя описва връзката. Това означава, че всяка графика описва отношенията. Обратно: всяко отношение може да бъде описано като графика.

Основни понятия за теория на графиките

Концепцията за инцидента е необходима и при подготовката на алгоритмите за решаване на много практически задачи с графики. Например, можете да се запознаете с изпълнението на програмата. байпас в дълбочината на графиката, представена от матрицата на честотата . Идеята е проста: можете да се движите само през върховете, свързани с ребрата. И ако ръбовете са присвоени на някои стойности ("скали", най-често под формата на цифри, такива графики се наричат \u200b\u200bсуспендирани или етикетирани), след това могат да бъдат решени сложни приложни задачи, някои от които са посочени в крайния параграф на този урок.

Класически задачи на теория и решения за графики

Един от първите публикувани примери за работа по теорията на графиките и прилагането на графики е работата на "задачата с конигсбергските мостове" (1736), чийто автор е изключителен математик от 18-ти век Леонард Еулер. Задачата е дадена от реката, островите, които се измиват от тази река и няколко моста. Проблем с въпроса: Възможно ли е, излизайки от някакъв момент, преминете през всеки мост само един път и се върнете към първоначалния елемент? (Фигура по-долу)

Задачата може да бъде симулирана, както следва: една точка е свързана с всяка част на суши, а двете точки са свързани към линията, ако и само ако съответните парцели са свързани с моста (фигура по-долу, свързващите линии се изтеглят от пунктирана линия). Така е изградена графика.

Отговорът на Euler на въпроса за задачата е следният. Ако тази задача имаше положително решение, след това в получената колона ще има затворен път, преминаващ по ръбовете и съдържащ всеки ръб само веднъж. Ако има такъв начин, тогава всеки връх трябва да има само номер на четене. Но в получената колона има върхове, които имат странно пътуване. Следователно задачата няма положително решение.

Според установената традиция графика на Ойлер се нарича графика, в която можете да заобиколите всички върхове и в същото време да преминете един ръб само веднъж. В него всеки връх трябва да има само номер на топка. Задачата на средната трудност върху колоните на Euler е в материала "основни видове графики".

През 1847 г. Кирххоф разработи теорията на дърветата за решаване на съвместна система от линейни алгебрични уравнения, което позволява да се намери стойността на текущата стойност във всеки проводник (ARC) и във всяка верига на електрическата верига. Резюме от електрически вериги и вериги, които съдържат съпротивление, кондензатори, индуктивност и др., Той разглежда подходящите комбинаторни структури, съдържащи само върхове и връзки (ребра или дъги), и за облигации не е необходимо да се вземат предвид как видовете електрически елементи, на които съответстват. Така, Kirchhof замени всяка електрическа верига със съответната графика и показа, че за да се реши системата от уравнения не е необходимо да се вземат предвид поотделно всеки цикъл на графика на веригата.

Кали през 1858 г., изучавайки чисто практическите задачи на органичната химия, отвори важен клас графики, наречени дървета. Той се стреми да изброи изомерите на наситени въглеводороди, като този брой въглеродни атоми. Кали предимно формулира задачата абстрактно: да намериш броя на всички дървета пс. Версиците, всяка от които има върхове с градуси 1 и 4. Не успя да реши незабавно този проблем и започна да променя формулировката си по такъв начин, че да е възможно да се реши новата задача за включване:

• коренови дървета (в които е маркиран един от върховете);
• всички дървета;
• дървета, в които степените на върховете не надвишават 4;
• дървета, в които степените на върховете са равни на 1 и 4 (задаване на задачата от химията).

Задачи с графики за осигуряване на основни понятия

Пример 1. Нека бъде А. - много числа 1, 2, 3: А. \u003d (1, 2, 3). Изградете графика, за да покажете връзка "

Решение. Очевидно е, че числата 1, 2, 3 трябва да бъдат представени като върхове на графиката. След това всяка двойка върхове трябва да свържат един ръб. Решаване на тази задача, стигнахме до такива основни понятия за теория на графиките, като ориентирани и не-ориентирани графики . Неволяни графики - такива, ребрата, чиито ребра не са имали указания. Или, както казват по-често, редът на двата края на ръба не е значителен. Всъщност графиката, построена в самото начало на този урок и отразявайки отношението на запознанствата между хората, не се нуждае от посоките на Ryube, тъй като може да се твърди, че "човек номер 1" е запознат с "мъж номер 2" "По същия начин като" човек номер 2 "с" човек номер 1 ". В нашия текущ пример един номер е по-малък от другия, но не и обратно. Следователно, съответният ръб на графиката трябва да има посока, показваща колко много е по-малко от другия. Това означава, че редът на краищата на ръба е от съществено значение. Такава графика (с ребра, имаща посока) се нарича ориентирана графика или Orgraf.

Така че в нашия комплект А. Номерът 1 е по-малък от числата 2 и числата 3, а номер 2 е по-малък от номера 3. Този факт се показва с ребри, които имат посока, която е показана със стрелките. Получаваме следната графика:

Пример 2. Нека бъде А. - много числа 2, 4, 6, 14: А. \u003d (2, 4, 6, 14). За да изпратите графиката, за да покажете връзката "Акции, насочени към" на този комплект.

Решение. В този пример част от рибата ще има посока, а някои няма, това е, ние изграждаме смесена графика . Ние изброяваме връзката на комплекта: 4 акции, насочени към 2, 6, разделени на 2, 14 е разделена на 2, а друг брой от този комплект е разделен от себе си. Това е връзка, т.е. когато броят акции, насочени към себе си, ще бъдат показани като ройвър, който свързва върха със себе си. Такива ребра се наричат липс . В този случай няма нужда да се дава посоката на цикъла. Така в нашия пример три обикновени ребра и четири контура. Получаваме следната графика:

Пример 3. Нека се даде наборът А. \u003d (α, β, γ) и Б. \u003d (A, b, c). Изградете графика, за да покажете връзката "декартови продукти".

Решение. Както е известно от дефиницията декарта работи на комплект Той не е поръчал комплекти от елементите на същия набор. Това е, в нашия пример е невъзможно да се свържат гръцки букви с гръцки и латински с латински. Този факт се показва като bobber графика Това е, при което върховете са разделени на две части, така че върховете, принадлежащи към една и съща част, не са взаимосвързани. Получаваме следната графика:

Пример 4. Агенция за недвижими имоти използва Игор, Сергей и Питър мениджъри. Задължения O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7, O8 се обслужват. Изграждане на графика за показване на взаимоотношения "Игор работи с O4, O7", "Сергей работи с O1, O2, O3, O5, O6", Питър работи с O8 обект.

Решение. Графиката, показваща данните за връзката, също ще бъде усвоена, тъй като мениджърът не работи с мениджъра и обектът не работи с обекта. Въпреки това, за разлика от предишния пример, графиката ще бъде ориентирана. Всъщност, например, Игор работи с O4 обект, но не и O4 обект работи с Igor. Често, когато такова имущество на отношенията е очевидно, необходимостта да се дават съдии на посоката може да изглежда "математическа глупост". Но все пак и това следва от строгия характер на математиката, ако отношението е едностранно, след това да се даде указания на необходимия рубам. В приложенията за взаимоотношения тази тежест се изплаща, например в програми, предназначени за планиране, където графиките се прилагат и маршрут над върховете и рубердите трябва стриктно в посочената посока. Така че, получаваме следващата ориентирана болетична графика:

И отново към примери с номера.

Пример 5. Нека зададеният комплект ° С. = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . Изграждане на графика, която изпълнява връзката, която определя всички двойки числа а. и б. От набор ° С.Които в разделянето на втория елемент на първия, който получава частно, което е цяло число повече от 1.

Решение. Графиката, показваща данните за връзката, ще бъде ориентирана, тъй като състоянието се споменава за втория и първия елемент, т.е. ръбът ще бъде насочен от първия елемент към втория. Определено е ясно от това, че елементът е писалката и която е втората. Ще добавя терминология: ориентираните ребра са обичайни за повикване на дъги. В нашата колона ще има 7 дъги: д.1 = (3, 15) , д.2 = (3, 18) , д.3 = (5, 15) , д.4 = (3, 6) , д.5 = (2, 18) , д.6 = (6, 18) , д.7 = (2, 6) . В този пример ръбовете (дъгите) на графиката са просто номерирани, но ординалните номера не са единственото нещо, което може да се припише на дъгата. АРК също може да се припише на везните, което означава, например, разходите за доставка от една точка към друга. Но с тежестите на дъгите ще се запознаем по-късно и повече. Така че получаваме следната ориентирана графика:

Както вече знаем от теоретичната уводна част, теорията на графиките не отчита специфичния характер на множествата и с помощта на една и съща графика, можете да зададете отношения с множество съдържание. Това е, от това много съдържание при моделиране на задачата може да бъде отчетена. Нека се обърнем към примерите, илюстриращи тази прекрасна собственост на теорията на графиките.

Пример 6. На парче шахматна дъска от 3 х 3, два бели коня и два черни коне са поставени, както е показано на фигурата по-долу.

Възможно ли е да се движат конете в държавата, показана на следващата фигура, без да забравяме, че две цифри не могат да бъдат на една и съща клетка?

Решение. В колоната "Конструкция" върховете ще бъдат свързани със съотношението на хода на коня. Това означава, че един връх е този, от който е напуснал конят, а другият, в който дойде, и междинната клетка на буквата "G" ще бъде извън тази връзка. Получаваме следната графика:

И все пак дизайнът се оказа тромав. Клетките на шахматната дъска са видими в него и много ръбове на графиката се пресичат. Възможно ли е да се абстрахират от физическия тип шахматна дъска и да си представим отношенията по-лесно? Оказва се, че е възможно. В новата колона съседните върхове ще бъдат тези, свързани с съотношението на коня, а не съседните шахматни дъски (рисуване по-долу).

Сега е лесно да се види, че отговорът на въпроса за тази задача е отрицателен. В първоначалното състояние между два бели коня няма черен кон и в крайна сметка този черен кон трябва да бъде. Ръбът на графиката е поставен така, че две близки коне да не могат да скачат един друг.

Пример 7. Задачата на вълк, коза и зеле. На една банка на реката са човек (H), лодка, вълк (в), козе (Kz) и зеле (KP). Лодката в същото време може да бъде човек и не повече от един от предметите. Човек трябва да носи всички предмети в другата Коланд, като наблюдава състоянието: Невъзможно е да оставим вълк без надзор с козата и козата заедно със зелето.

Решение. В конструктивното стълбове колона - конфигурация и Röbra е съотношението на "комуникацията на едно зареждане" между конфигурациите. Конфигурацията означава местоположението на обектите върху първоначалния бряг и на противоположния бряг. Всяка конфигурация се показва във формата ( А.|Б.), където А. - обекти, разположени в първоначалния бряг, и Б. - обекти, разположени на противоположния бряг. Първоначална конфигурация, така че - (Chvkpkz.| ) . Например, след преминаването към другата коза, конфигурацията ще бъде (VKP|Chkz.) . Крайната конфигурация е винаги ( |Chvkpkz.) . Сега можем да изградим графика, която вече означава, което означава върховете и ребрата:

Поставете върховете на графиката, така че ребрата да не се пресичат, а следващите пикове, които са свързани с съотношението в колоната. След това вижте връзката ще бъде много по-лесна (за увеличаване на чертежа, кликнете върху него с левия бутон на мишката):

Както виждате, има две различни непрекъснати маршрути от първоначалната конфигурация до финала. Следователно задачата има две различни решения (и и двете са правилни).

Теория на броя и съществени приложни задачи

Въз основа на теорията на графиките бяха разработени методи за решаване на приложни задачи, в които високо сложните системи се симулират под формата на графики. В тези модели възлите съдържат отделни компоненти, а ребрата показва връзки между компонентите. Обикновено за моделиране на транспортни мрежи, системи за масова поддръжка, претеглени графики се използват в планирането на мрежата. Вече говорим за тях, това са графики, в които дъгите са зададени везни.

Използвани са дървета, например, за изграждане решения на дървета (Служи за анализ на рисковете, анализ на възможните придобивания и загуби в условията на несигурност). С използването на теория на графиките, разработени и други множество математически модели Да решават проблеми в специфични тематични области.

Брой и задачи за темите

Формулиране на проблема. Има водопроводна система, представена от графиката на фигурата по-долу.

Всяка дъга графика показва тръбата. Числа над дъги (скали) - честотна лента на тръбите. Възли - местата на тръбната връзка. Водата тече през тръби само в една посока. Възел С. - източник на вода, възел Т. - наличност. Необходимо е да се максимизира обема на водата, която тече от източника до канализацията.

За да разрешите предизвикателствата на потока, можете да използвате метода Ford Fulkerson. Идеята на метода: търсенето на максималния поток е направен на стъпки. В началото на операцията алгоритъмът на потока зависи равен на нула. На всяка следваща стъпка стойността на потока се увеличава, за която се търси допълнителен път, за който идва допълнителен поток. Тези стъпки се повтарят, докато има допълнителни пътеки. Задачата се прилага успешно в различни разпределени системи: захранваща система, комуникационна мрежа, железопътна система и др.

Графики и планиране на мрежата

В задачите на планирането на сложни процеси, състоящи се от различни произведения, някои от които се извършват паралелно, а частите последователно, претеглени графики, известни като мрежата Perth (PERT), са широко използвани.

PERT - Програма (проект) Техника и преглед Техника - уреди за оценка и анализ на програми (проекти), които се използват при управлението на проекти.

Пърт е претеглена ациклична ориентирана графика, в която всяка дъга представлява работата (действие, работа), а теглото на дъгата е времето, необходимо за неговото изпълнение.

Ако в мрежата има дъги ( а., б.) и ( б., ° С.), след това работата, представена от дъгата ( а., б.), трябва да бъде завършен преди началото на работата, предоставена от дъгата ( б., ° С.). Всеки връх ( в.i) представлява точката във времето, до което всички произведения, определени от дъгите, надарени в горната част ( в.i).

В такава колона:

• един връх, който не разполага с предшествениците, определя времето на започване на работата на работата;
• един връх, който няма последователи, съответства на времето на завършване на комплекса от работа.

Пътят с максималната дължина между тези върхове на графиката (от началото до края на работния процес) се нарича критичен начин. За да се намали времето на изпълнение на целия комплекс на работата, е необходимо да се намери работа под критичния път и да намали дължимата им продължителност, например привличане на допълнителни изпълнители, механизми, нови технологии.

Целия блок "теория на графиките"

Концепцията за графиката е препоръчително да се въведе след разглобяване на няколко задачи, като например задача 1, решаващото съображение, в което е графично представяне. Важно е учениците незабавно да осъзнаят, че една и съща графика може да бъде изтеглена по различни начини. Строга дефиниция на графиката, по мое мнение, не е необходимо, защото Той е твърде тромав и това затруднява обсъждането. Първоначално интуитивната концепция е достатъчна. Когато се обсъждат концепцията за изоморфизъм, няколко упражнения могат да бъдат решени за определяне на изоморфни и не-телесни графики. Една от централните точки на темата е броят на теоремата на паритета на броя на нечетните върхове. Важно е учениците да са разбрали напълно в доказателството си и са се научили да кандидатстват за решаване на проблеми. Когато анализирате няколко задачи, препоръчвам да не се позовавате на теорема и всъщност да повторите доказателството си. Концепцията за обезпечението на графиката също е изключително важна. Значителното разглеждане тук е разглеждането на компонента на свързаността, е необходимо да се обърне специално внимание на това. Графики на Euler - темата е почти игрите.

Първата и основната цел, която трябва да бъде преследвана при изучаването на графиките, да изучава учениците, за да видят графиката в състоянието на проблема и компетентно превеждане на състоянието на езика на теорията на графиката. Не говорете и с двете в няколко дейности подред. По-добре е да разпространяваме класовете навреме за 2-3 учебни години. (Развитието на класове "Концепцията за графиката е приложена. Прилагане на графики за решаване на проблеми" в степен 6).

2. Теоретичен материал за темата "графики".

Въведение

Графиките са прекрасни математически обекти, с тяхната помощ можете да решите много различни, външно подобни на другите задачи. По математика има цяла секция - теорията на графиките, която изучава графиките, техните свойства и приложение. Ще обсъдим само най-основните понятия, свойства на графиките и някои начини за решаване на проблеми.

Концепцията за графика

Разгледайте две задачи.

Задача 1. Между девет планети на слънчевата система инсталира пространствено съобщение. Полетните ракети летят по следните маршрути: Земя - Меркурий; Плутон - Венера; Земя - Плутон; Плутон - живак; Меркурий - Виена; Уран - Нептун; Нептун - Сатурн; Сатурн - Юпитер; Юпитер - Марс и Марс - Уран. Възможно ли е да летите на ракетите на полета от земята до Марс?

Решение: Начертайте условия: планетите с точки и ракети ракети са линии.

Сега веднага е ясно, че е невъзможно да лети от земята до Марс.

Задача 2. Бордът има формата на двоен кръст, който се получава, ако ъглови клетки се отстраняват от квадрат 4Х4.

Възможно ли е да го заобикаляте с шахматен кон и да се върнете към оригиналната клетка, след като сте посещавали всички клетки точно един път?

Решение: Въвеждане на последователни клетки на дъската:

И сега с помощта на чертежа, ние показваме, че такова преминаване на таблицата, както е посочено в състоянието, е възможно:

Погледнахме две за разлика от задачите. Въпреки това решенията на тези две задачи обединяват цялостната идея - графично представяне на решението. В същото време снимките, изтеглени за всяка задача, бяха подобни: всяка снимка е няколко точки, някои от които са свързани по линии.

Такива снимки се наричат графами. Коалките се наричат verters.и линии - ребрата графика. Обърнете внимание, че не всяка снимка от този тип ще се нарича графика. Например. Ако бъдете помолени да нарисувате петоъгълник в бележника, тогава такъв чертеж няма да бъде графика. Ще се обадим на чертежа на този вид, както в предишните задачи, графиката, ако има някаква конкретна задача, за която е изградена такава снимка.

Друга забележка се отнася до вида на графиката. Опитайте се да проверите дали графиката за същата задача може да бъде изтеглена по различни начини; Обратно за различни задачи можете да нарисувате същите графики. Важно е тук само какви върхове са свързани помежду си и които не са. Например, графиката за задача 1 може да бъде изтеглена по различен начин:

Такава, но се наричат \u200b\u200bразлични графики изоморфно.

Степента на върхове и преброяване на броя на краищата на графиката

Пишаме друга дефиниция: степента на върха на графиката се нарича броят на ръбовете, идващи от него. В това отношение Vertex с равномерна степен се нарича дори връх, съответно, върха с странна степен се нарича нечетен връх.

Една от основните теореми на теорията на графиките е свързана със степента на върховете, целостта на целостта на броя на нечетните върхове. Ще го докажем малко по-късно, но първо за илюстрация разгледайте задачата.

Задача 3. В градски 15 телефона. Възможно ли е да ги свържете с кабели, така че всеки телефон да е свързан точно с пет други?

Решение: Да предположим, че е възможно да се свържат телефони. След това си представете графиката, в която пиковете показват телефоните, а ребрата са кабели, които ги свързват. Изчисляваме колко ще се окажат кабелите. Към всеки телефон са свързани точно 5 проводника, т.е. Степента на всеки връх на нашата графика - 5. За да намерите броя на проводниците, трябва да обобщите степените на всички върхове на графиката и полученият резултат е разделен на 2 (тъй като всеки проводник има два края, след това, когато степените са обобщени, всеки тел ще бъде взет 2 пъти). Но тогава броят на проводниците ще бъде различен. Но този брой не е цяло. Това означава нашето предположение, че можете да свържете всеки телефон точно с пет други, да се оказа неправилен.

Отговор. Снезирането на телефони е невъзможно.

Теорема: Всяка графика съдържа дори брой нечетни върхове.

Доказателство: Броят на ръбовете на графиката се равнява на половината от размера на степените на нейните върхове. Тъй като броят на ръбовете трябва да бъде цяло число, тогава трябва да бъде сумата от степените на върховете. И това е възможно само ако графиката съдържа четен брой нечетни върхове.

Кръгови свързани

Има и друга важна концепция, свързана с графиките - концепцията за свързани.

Броят се нарича свързанако могат да бъдат свързани две върхове начинтези. Непрекъсната последователност на ребрата. Съществуват редица задачи, чието решение се основава на концепцията за свързване на графиката.

Задача 4. В страната, седем от 15 града, всеки от градовете е свързан с пътища поне с седемте други. Докажете, че от всеки град е модерно да стигнете до други.

Доказателства: Помислете за два произволни А и в града и предполагате, че между тях няма начин. Всеки от тях е свързан с пътища, поне с седемте, и няма такъв град, който да бъде свързан както с въпросните градове (в противен случай ще има изход от А в б). Начертайте част от графиката, съответстваща на тези градове:

Сега ясно се вижда, че получихме поне различни 16 града, които противоречат на състоянието на проблема. Така одобрението е доказано от неприятни.

Ако вземете предвид предишното определение, тогава одобрението на задачата може да бъде преформулирано и по различен начин: "докажете, че страната седем седем са свързани."

Сега знаете как изглежда свързана графика. Изключената графика има появата на няколко "парчета", всеки от които е или отделен връх без ребра, или свързана графика. Пример за непоследователна графика, която виждате на снимката:

Всяко такова отделно парче се нарича графика на компонентната свързаност.Всеки компонент на свързаността е свързана графика и за всички изявления, които сме доказали за свързани графики. Помислете за пример за задача, в която се използва свързаният компонент:

Задача 5.. В крайбрежието на моста само един вид транспорт е килим самолет. От столицата има 21 килим, от град Дали - един, и от всички останали градове - до 20. Докажете, че от столицата можете да летите до града.

Доказателство: Ясно е, че ако нарисувате графиката на царството на царството, тогава може да е неутешено. Помислете за компонента на свързаността, който включва столицата на царството. От столицата, 21 килим, и от всички други градове, освен градът на 20, така че е необходим законът за дори броя на нечетните върхове, така че градът на далеч да влезе в същия компонент на свързаността. И тъй като компонентът на свързаността е свързана графика, тогава от столицата има път на килимите в града на далечната част, който се изискваше да докаже.

Графики на EILERA.

Вероятно сте се сблъскали с задачите, в които искате да нарисувате всяка фигура, без да приемате молива от хартия и да харчите всеки ред само веднъж. Оказва се, че такава задача не винаги е разрешена, т.е. Има цифри, които посоченият начин не може да бъде изтеглен. Въпросът за разрешаването на такива задачи също е включен в теорията на графиките. За първи път той учи през 1736 г., великия немски математик Леонард Юулер, решавайки задачата на мостове Königsberg. Следователно графиките, които могат да бъдат изготвени в определения метод, се наричат \u200b\u200bграфики на Euler.

Задача 6. Възможно ли е да се начертае графиката на фигурата, без да се вземат молив от хартия и да харчите всеки ръб точно веднъж?

Решение. Ако нарисуваме графика, както е посочено в състоянието, след това във всеки връх, с изключение на първоначалното и крайното, ще влезем по едно и също време, когато излезем от него. Това означава, че всички върхове на графиката освен две трябва да са дори. В нашата графика има три странни пика, така че не може да бъде изтеглена по метода, посочен в състоянието.

Сега сме доказали теоремата за графиките на EULER:

Теорема: Броят на елела не трябва да има повече от две странни върхове.

И в заключение - задачата на Königsberg Bribges.

Задача 7. Фигурата показва схемата на мостове на град Конегсберг.

Възможно ли е да се разхождате, за да отидете на всеки мост точно 1 път?

3. Задачи към тема "Графики"

Концепцията за графиката.

1. На квадратната дъска 3x3 4 конете са поставени, както е показано на фиг. Мога ли да направя няколко удара с коне, пренаредете ги до позицията, показана на фиг.2?

Фиг. един

Фиг. 2.

Решение. Въведете клетките на дъската, както е показано на фигура:

Всяка клетка се поставя в съответствие с точката на равнината и, ако от една и съща клетка можете да влезете в друг ход на шахматния кон, след това съответните точки с линията. Първоначалните и необходимите коне са показани в чертежите:

С всяка последователност от инсулти, редът на следващите им очевидно не може да се промени. Ето защо е невъзможно да се пренареди конете.

2. В съответния номер има 9 града с имена 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Пътникът установи, че два града са свързани с авиокомпании в това и само ако двуцифреното число Образувани от градовете имена, разделени на 3. Възможно ли е да лети по въздух от града 1 до 9?

Решение. Поставяне в съответствие с всяка точка на града и свързване на линията на линията, ако количеството на номерата е разделено на 3, получаваме графиката, в която числата 3, 5, 9 са свързани помежду си, но не са свързани с останалите. Така че летят от града 1 до града не може.

Степента на върхове и преброяване на броя на ребрата.

3. В държавата на 100 града към всеки град има 4 пътища. Колко пътища в държавата.

Решение. Изчислете общия брой пътища с изглед към пътищата - 100 . 4 \u003d 400. Въпреки това, с такова изчисление, всеки път се брои 2 пъти - излиза от един град и влиза в другия. Така че всички начини са два пъти по-малки, т.е. 200.

4. В клас 30 клас. Може ли 9 души да имат 3 приятели, 11 - 4 всеки, и 10 - 5 приятели?

Отговор. Не (теоремата на паритета на броя на нечетните върхове).

5. Крал 19 Васалов. Може ли да е така, че всеки васал има 1, 5 или 9 съседи?

Отговор. Не той не може.

6. Може ли да има точно 3 скъпо в държавата, в която всеки град идва от всеки град?

Решение. Изчислете броя на градовете. Броят на пътищата е равен на броя на градовете Х, умножени по 3 (броя на пътищата с изглед към всеки град) и разделен на 2 (виж задача 3). След това 100 \u003d З / 2 \u003d\u003e Зх \u003d 200, което не може да бъде в естествен х. Така че 100 пътища в такава държава не могат да бъдат.

7. Докажете, че броят на хората, които живееха на земята и направиха нечетен брой ръкостиски.

Доказателството веднага следва от броя на теоремата на паритета на броя на нечетните върхове на графиката.

Свързаност.

8. В страната от всеки град има 100 пътища и от всеки град може да се стигне до всеки друг. Един път беше затворен за ремонт. Докажете, че сега от всеки град може да бъде достигнат до всеки друг.

Доказателства. Помислете за компонента на свързаността, който включва един от градовете, пътят между който е бил затворен. Според теоремата на паритет, броят на нечетните върхове включва втория град. Така че, все още можете да намерите маршрут и да получите от един от тези градове в друг.

Графики на Euler.

9. Има група острови, свързани с мостове, така че от всеки остров да бъде достигнат до всеки друг. Туристите заобикаляха всички острови, като преминаха всеки розов мост 1 път. На остров Тректная той посети три пъти. Колко моста води с тройно, ако туристът

а) не започнаха с него и не го завършиха?
Б) Той започна, но не го завърши?
в) Той започна и завърши върху него?

10. Фигурата показва парка, разделен на няколко части на оградите. Възможно ли е да преминете през парка и околностите му, за да се изкачите през всяка ограда на роза 1 път?

В изхода на ставките на ензимните реакционни скорости се използват редица опростяващи предположения. По-специално, като правило се приема, че ензимната реакция продължава при условия на перфектни смесителни, термо- и рН-статични условия и че в реакцията се монтира изкривяване в реакцията (вж. Точка 2.1), при която всички междинени Формите на ензима са в равновесие. Префикс "квази" означава, че само част от променливите достигат стационарни стойности, докато останалите продължават да се променят бавно. Използването на предположения за постигането на концентрации (биохимичната система на квизистационните стойности е известна в литературата като метода на Bodenstein - Semenov. Този метод ви позволява рязко опростяване на анализа (BIO) на химичните системи. Вместо системите за решаване на нелинейни диференциални уравнения, описващи промяната в междинните вещества по време на реакцията, в съответствие с този метод могат да решават само системите на алгебрични уравнения, които се свързват

quasistationary междинни концентрации. Основната причина, поради която е монтирано изкривяване в ензимна реакция, е, че концентрацията на ензима обикновено е няколко порядъка по-малко от концентрациите на субстратите, взаимодействащи с ензима.

По правило системите за алгебрични уравнения, описващи квазазаторните състояния на ензимните реакции, са линейни, тъй като взаимните сраствания между междинните форми и комплекси са представени чрез мономолекулни реакции. Следователно, методите на линейна алгебра се използват за определяне на квастеристационните концентрации на междинните вещества. През последните години методите на графичната теория на графиките станаха широко използвани за тази цел.

Ензимната реакционна графика се нарича комбинация от възли, съответстващи на квазистанните концентрации на всички ензимни комплекси и свързването на техните насоки, характеризиращи се с определена стойност на контекста на скоростта на преобразуване на величината или предаването на клона, може да бъде функция на концентрацията на недоволство, участващ в тази трансформация. Концентрацията на това вещество се разглежда в устойчивостта на стремежа.

Например, ензимна реакция

тръгване през междинното образуване на два ензима-субстратни комплекса

тя може да бъде представена в изпитателно състояние на графика, с три възли и шест насочени клона. Класът (1.11) показва стойностите на клоновете; Двама от тях зависят от концентрациите, разглеждани в устойчивото състояние на държавата.

Графиката на графиката, насочена към възела, се нарича незабелязан набор от клони, насочени от всички сглобки на сглобката към възела. Дървото няма затворени или успоредни последователности. Стойността на дървото се нарича продукт на стойностите на всичките му клони. Например, графичните възли (1.11) имат следните дървета (техните стойности са дадени):

(виж сканиране)

Тъй като има цялата информация, необходима за изчисленията в графиката на източника, при рисуване на дървета, обикновено не използва наименованията на възлите и стойностите на клоните. Освен това, когато се достигне определено умение, стойностите на дърветата се освобождават директно върху графиката на източника - без рисуване на дървета.

Комплектът (на стр. 24) не е възел дървета, тъй като е затворена последователност на клоните (цикъл), има две успоредни последователности на клоните на свързващите възли и в цикъла на клона, насочен от възела към възела не е свързан с възела

Основният детерминант на възела се нарича количеството на стойностите на всички дървета, насочени към базата данни. Детерминанта на графиката се нарича сума от всички основни графични идентификатори. Например, детерминантите на сглобките и колоната (1.11) са следните количества дървета (1.12):

(виж сканиране)

и определянето на тази графика е равно на сумата от трите основни детерминанта:

Първоначалната квизистадилационна скорост на ензимната реакция се експресира чрез детерминантите на реакционната графика, както следва:

когато скоростта на образуване или свързване на продукта от възела е основен детерминант на възел на пълната концентрация на ензима. При изчисляване в случай на обратимо образование се използва следните споразумения за знаци: ако възелът хвърля продукта и ако възел свързва продукта.

Например, за графиката (1.11) с формула (1.14), напишете

Първият термин в цифроратора е положителен, тъй като гниенето освобождава и вторият член е отрицателен, тъй като се свързва с това

Quasistationary концентрации на междинни комплекси са във формулата

Така в колона (1.11) концентрацията на свободния ензим и комплекси се определя чрез изрази.

Федерална държавна образователна институция по висше професионално образование

- Държавният педагогически институт на Мордовски на име Мардей. Еввейвиева "

Физически факултет и математика

резюме

по тази тема:

"Теория на графиките"

Изпълнени: студент

mDM-109 групи

Добринка О.А.

Проверено: Lapina, т.е.

Саранск 2014.

Въведение ................................................. ................................... 3.

1. Основни понятия за теория на графиките ............................................... ..... 4.

2. Примери за графики ............................................... ................................... 8.

3. Колони на Euler ................................................ ..................................... 13.

4. Примери за приложения на теория на графиките .......................................... . 16.

5. Задачата на най-краткия път .......................................... ............... 18.

6. Алгоритъм за намиране на максималния поток .............................. .. 27

Заключение ................................................... ............................. 38.

Препратки ................................................. ...................... 39.

Въведение

Напоследък се наблюдава постоянна инвазия на математически методи в различни индустрии на науката и технологиите. Процесът на математика засегна икономическата наука.

Концепцията за графика, само по себе си много проста, се оказа много плодотворна в науката и често се използва. Теорията на графиките изучава графиките като абстрактни математически формации, независимо от техните специфични интерпретации, а след това получените общи резултати се прикрепят към най-различните дисциплини.

Терминът "брой" е придобил правото на гражданство и влезе в математическия език през 1936 г., след като достигне монографията на König, в което за първи път броят се изследват като независими математически обекти, независимо от тяхното съдържание.

Изучаването на графики е от значение днес. Намерете най-краткотрайната пътека или най-близкия магазин за хранителни стоки, планирайте оптималния път - всички тези примери от ежедневието ни. Тези и много други задачи могат да бъдат решени с графики.

Този документ представлява редица основни понятия, примерите за заявленията на теорията на графиките и обсъжда два подхода за решаване на икономически проблеми въз основа на теорията на графиките.

1. Основни понятия за теория на графиките

Графиката е система, която интуитивно се счита за много кръгове и множество от техните линии, които ги свързват (фиг. 1).

Кръговете се наричат \u200b\u200bвърхове на графиката, линията със стрелките - дъги, без стрелки - ребра. Графиката, в която посоката на линиите не се откроява (всички линии са ребра), наречени без ориентирани (фиг. 1, а); Графиката, в която посоката на линиите е фундаментално (линиите са дъги) се наричат \u200b\u200bориентирани (фиг. 1, б).

Ord. 1. Крайният комплект се дава. Х.състояща се от н. елементи ( X \u003d.{1, 2, ..., n)), наречени върхове на графиката, и подмножество на V Decartian произведения на X × X, това е
, наречен няколко дъга, тогава ориентираната графика g се нарича комбинация (x, v).

Ord. 2. Неориентираната графика се нарича набор от множество х и много разрушени двойки елементи, всеки от които принадлежи към зададения X.

ARC между върховете I и J,
, ще обозначим (i, j). Броят на дъговите графики ще бъде обозначен с m (v \u003d (
)).

Ord. 3. Подграфът е част от графиката, образувана от подгрупата на върховете заедно с всички ребра (дъги), свързващи върховете от този комплект. Ако от графиката отстранете част от ребрата (ARCS), тогава получаваме частична графика.

Ord. 4. Два върха се наричат \u200b\u200bсъседни, ако са свързани с ръб (дъга). Свързаните върхове се наричат \u200b\u200bгранични върхове на съответния ръб (дъги) и това е ръб (ARC) - случайно подходящи върхове.

OPR.5. Пътят се нарича дъгова последователност (в ориентираната колона), така че краят на една дъга е началото на друга дъга.

Ord. 5.1. Простият начин е пътят, в който нито една дъга не се случва два пъти.

Ord. 5.2. Елементарният път е пътят, в който не се открива два пъти.

Ord. 5.3. Контурът е пътят, който крайният връх съвпада с първоначалния връх.

Ord. 5.4 Дължината на пътя (контура) се нарича броя на дъговите пътеки (или сумата от дължината на дъгата, ако последните са определени).

OPR.6. Броя, за което от (i, j) V следва (j, i) V се нарича симетрично.

Ord. 7. Ако от (i, j) V Следва това (J, I)
V, тогава съответната графика се нарича антисиметрична.

Ord. 8.1. Веригата се нарича много ръбове (в безориентна колона), която може да бъде поставена така, че крайът (в това устройство) на едно ребро е началото на друг.

Ord. 8.2. Веригата е последователност от съседни върхове.

Ord. 9. Затворената верига се нарича цикъл.

Ord. 10.1. Елементарната верига (цикъл, пътека, контур), преминаваща през всички върхове на графиката, се нарича хамилтонова верига (съответно, цикъл, пътека, контура).

Ord. 10.2. Една проста верига (цикъл, път, контур), съдържащ всички ръбове (дъги) на графиката, се нарича верига на супер (съответно - цикъл, път, контур).

Ord. 11. Ако някой два върха на графиката могат да бъдат свързани с верига, тогава графиката се нарича свързана. Ако графиката не е свързана, тя може да бъде разделена на свързани подграфи, наречени компоненти.

Ord. 12. Графиката на графиката е минималният брой ръбове, след отстраняването на който графиката става непоследователна. За ориентирани графики, ако някой два върха на графиката могат да бъдат свързани с помощта, графиката се нарича силно свързана. Свързана графика, в която има цикъл, се нарича графика на супер.

Ord. 13. В неоторизиран клас степента на върха I се нарича номер инциденти на ребрата й. Очевидно
. Графиката, степените на всички върхове са N - 1, се наричат \u200b\u200bпълни. Брой всичките степени на върховете на върховете са равни, се нарича хомогенна.

Ord. 14. Верксът, за който няма инциденти на ръба ( \u003d 0) се нарича изолиран. Върха, за която има само един ръб на него ( \u003d 1), наречено висящо.

Ord. 15. Ние определяме канализационната матрица на графиката като квадратна матрица n × n, елемент което е равно на едно, ако (i, j) V, и нула, ако (i, j)
V, i, j X. За неоснователна графика, съседната матрица винаги е симетрична.

Ord. 16. Определяме матрицата на инцидента за ръбовете на графиката като правоъгълна матрица N × m, елемент което е равно на едно, ако въртерът I е инцидент в ръба J, и нула е иначе, I \u003d 1, N, J \u003d 1, m.

Ord. 17. Матрицата на инцидента за дъгата на графиката - правоъгълната матрица M x N, елемента RIJ, който е равен на плюс устройството, ако дъгата идва от върха i, минус един, ако дъгата Влиза в Vertex I и нула в други случаи, I \u003d 1, N, J \u003d 1, m

Ord. 18. Дървото е свързана графика без прости цикли, което има поне два върха. За дървото m \u003d n - 1, а броят на висящите върхове е равен
Лесно е да се покаже, че в дървото всеки два върха са свързани с единствената верига.

Ord. 19. Пратареев се нарича ориентирано дърво, в което един от върховете, наречен корен, няма плачни дъги, а степените на останалите върхове са равни на един.

Ord. 20. Плосък (плана) се нарича графика, която може да бъде изобразена в равнината, така че различните чаши да съответстват на различни върхове и няма две ребра, които имат общи точки, различни от техните граници (не се пресичат). За плоска графика, има концепция за лицето - части от равнината, ограничено от ребрата и върховете, които не съдържат вътре вътре.

Ord. 21. Степента на лицето се нарича броя на нейните гранични ребра (висящите ребра се считат за два пъти).

Всяка свързана плоска графика g може да бъде поставена в съответствие с двойна свързана плоска графика g *, определена, както следва: всяко лице на графиката g съответства на върха на графиката G *, всеки ръб V на графиката G, който е граница За повърхността Z1 и Z2 съответства на ръба v * графика g * свързване на съответните зърна z1 и z2 върхове.

2. Примери за графики

Напълно непоследователни графики . Броя, в което много ребра са празни, наречени напълно непоследователен(или празна) графика.Означаваме напълно изключена графика с n върхове чрез n n; N4 е показан на фиг. 1. Отбележете, че w.изцяло непоследователна графика Всички върхове се изолират. Напълно неубедителни графики не представляват голям интерес.

Пълни графики . Проста графика, в която са съседни два върха, наречени пълна графика.Пълната графика с n въртене обикновено се обозначава . Графики и изобразен на фиг. 2 и 3. Той има точно n (n - 1) / 2 ребра.

Редовни графики . Броя, чиито върхове имат еднаква степен редовна графика.Ако степента на всеки връх е равна на r, тогава се нарича графиката редовна степенr. . Редовни графа от степен 3, наричани също и кубик(или тривалентен)графики (виж, например, Фиг. 2 и 4). Друг известен пример за кубична графика е така наречената график Petersen,показан на фиг. 5. Имайте предвид, че всяка напълно изключена графика е редовно 0, а всяка пълна графика към n е редовна степен N - 1.

Платонически графики . Сред редовните графики, така наречените платонисти на графиката са особено интересни - графиките, оформени от върховете и ребрата на петте десни полиедри - платонови тела: тетраедра, куб, октаедрон, додекаедър и икосахдрон. Графика съответства на тетраедрата (фиг. 2); Броя, съответстващ на Куба и октаедрата, са показани на фиг. 5 и 6;

Двойни цветове . Да предположим, че наборът от върхове на графиката може да бъде разделен на два нетейцен подгрупа V1 и V2, така че всеки ръб в g да свързва някои върха от V1 с всеки връх на V2 (фиг. 7);

тогава G се нарича дихапотична графика. Такива колони понякога се обозначават с g (v 1, v 2), ако искат да подчертаят две определени подгрупа. Графиката с две сърца може да бъде определена по различен начин - по отношение на оцветяването на нейните върхове в два цвята, казват червено и синьо. В същото време графиката се нарича обитаване, ако всеки връх може да бъде оцветен червен или син, така че всеки ръб да има един край червен, а другият е син. Трябва да се подчертае, че в колона, всеки връх на V1 е напълно свързан с всеки връх на V2; Ако е така и ако графиката g е проста, тогава тя се нарича пълна двупартийна графикаи обикновено означени

където m, n е съответно броят на върховете, в V 1 и V 2. Например, на фиг. 8 е изобразена графика К 4, 3. Обърнете внимание, че графиката
Той има точно m + n върхове и mn ребра. Пълна бипозична графика
наречена звезда; На фиг. 9 показва графика на звездите
.

Безшумни графики . Графика свързан,ако не може да бъде подадено под формата на комбинация от две графики, и непоносимав противен случай. Очевидно е, че всяка неумокрителна графика G може да бъде представена като обединение на крайния брой свързани графики - се нарича всяка от тези свързани графики компонент (свързан)графика g. (На фиг. 10 показва графика с три компонента.) Доказателство за някои изявления за произволни графики често е удобно удобно за свързани графики и след това ги прилагат към всеки компонент поотделно.

Циклични графики и колела . Свързана редовна графика на степен 2 се нарича циклична графика(или цикъл);циклична графика. от псверсиите са обозначени с n. Сложни графики и
(P.≥ 3) извикани колелоот псвърхове и обозначени W. н. . На фиг. 11 са изобразени От 6 и W. 6 ; графика W. 4 вече се появи на фиг. 2.

3. Колони на Euler

Свързана графика G извика литературако има затворена верига, преминаваща през всеки от ръба му; Такава верига се нарича верига на супер.Имайте предвид, че това определение изисква всеки ръб само веднъж. Ако премахнете границата на затваряне на веригата, тогава се нарича графиката полупии;в същото време, всяка графика на EULER ще бъде Семеолер. На фиг. 13,14,15 са изобразени съответно, а не супер, полу-играчи и графики на Eileels.

Името "EULER" възникна поради факта, че Ейлър първо е решил известната задача за мостовете на Königsberg, в които е необходимо да се знае дали графиката е показана на фиг. 15, верига на супер (не). Въпросът незабавно възниква: възможно ли е да се намерят необходимите и достатъчно условия за графиката да бъде супера

Доказваме проста лема.

Lemma 1. Ако степента на всеки връх на графиката g е не по-малък от два, тогава g съдържа цикъл.

Доказателства. Ако графиката g има контури или няколко ръба, тогава изявлението е очевидно; Затова приемайте, че G е проста графика. Нека v да бъде произволен връх на графиката G; Ние изграждаме маршрута чрез индукция, избирайки Vertex V1 на съседния връх V, и за I ≥1 - избор V I +1 в съседство V I и различно от V I -1 (наличието на такава Vertex V I +1 е гарантиран от състоянието на лима). Тъй като G има ограничен брой върхове, след това в крайна сметка ще стигнем до горе, който вече е бил избран преди. Да предположим, че v k е първият връх; След това част от маршрута, разположен между двата входа V h, е необходимия цикъл.

Теорема 1. Свързаната графика G е сулер, ако и само когато всеки връх в G има дори степен.

Доказателства.
Да предположим, че p е верига на супер в графика G. След това, с каквато и да е преминаване на веригата P чрез някой от върховете на графиката, степента на този връх се увеличава с две. И тъй като всеки ръб се намира в R точно веднъж, всеки връх трябва да има дори степен.

Извършваме доказателство чрез индукция от броя на ръбовете в g. Благодарение на връзката G, степента на всеки връх е не по-малка от две, а от тук, според предишната лема, заключаваме, че графиката G съдържа цикъл C. Ако c преминава през всеки ръб на графиката G, тогава Доказателството е завършено; Ако не, тогава, отстраняването от G ребрата, принадлежащи към цикъла C, получаваме нов (може би инкоек) броят n. броят на ръбовете в Н е по-малък от в g, а всеки връх в Н все още е дори степен. Съгласно индуктивното предположение във всеки компонент на броя N има верига на супер. Благодарение на свързаността на графиката G, всеки компонент в Н има най-малко един общ връх с цикъл С, така че желаната верига на овлажката на графиката G може да бъде получена, както следва: преминаваме през пръстените на цикъла от до нас отговарят на непокътната върха на брояч h, след това следвайте съгласно веригата на обещание, компонента в Н, която съдържа посочения връх; След това продължаваме пътя на ребрата на цикъла C, докато се сблъскаме с върха, принадлежащ към друг компонент на графика N и т.н.; Процесът завършва, когато се връщаме към първоначалния връх (фиг. 17).

Следствие 1. Свързаната графика е ауйвър, ако и само ако семейството на ребрата му може да бъде разделено на не-цикли.

Следствие 2. Свързаната графика е полупиера, ако и само ако има повече от два върха в нея.

4. Примери за приложения на теория на графиките

1. "Транспортни" задачи, в които са върховете на графиката, а ребрата - пътища (автомобилни, желязо и др.) И / или друг транспорт (например, авиационни) маршрути. Друг пример е мрежата за снабдяване (енергийно снабдяване, газоснабдяване, доставка на стоки и др.), При което върховете са точки на производство и потребление, а ребрата са възможни маршрути на движение (електропроводи, газопроводи, пътища и др.) . Съответният клас проблеми на оптимизацията на товарните потоци, поставяне на производствени и потребление и др., Понякога се наричат \u200b\u200bзадачи за сигурност или задачи за работа. Техният подклас е предизвикателствата за товарния транспорт.

2. "Технологични задачи", в които върховете отразяват производствените елементи (растения, работни срещи, машини и др.), А дъгите от суровини, материали и продукти между тях са да се определи оптималното натоварване на производствените елементи и осигуряване на това натоварване на потоците .

3. обменни схеми, които са модели на такива явления като бартер, роднини и др. Версиите на графиката описват участниците в схемата за обмен (верига) и дъгите са потоците на материалните и финансовите ресурси между тях. Задачата е да се определи обменната верига, оптимална от гледна точка, например организатора на борсата и да се съгласува с интересите на участниците в веригата и съществуващите ограничения

4. Управление на проекти. (Управление на проекти - раздел на теорията на управлението, методите и механизмите за промяна на промените (проектът се нарича целенасочена промяна в определена система, извършвана в рамките на срокове и използвани ресурси; характерна характеристика на всеки проект е Неговата уникалност, т.е. нередността на съответните промени.)). От гледна точка на теорията на графиките, проектът е набор от операции и зависимости между тях. Примерът на учебника е проект за изграждане на някакъв обект. Наборът от модели и методи, които използват езика и резултатите от теорията на графиките и задачите, ориентирани към проекти, получиха името на календарното планиране и управление (KSPU). Като част от KSPU задачите за определяне на последователността на операциите и разпределението на ресурсите между тях, оптимални по отношение на определени критерии (време на проект, разходи и др.).

5. Моделите на групи и групи, използвани в социологията, се основават на представянето на хора или техните групи под формата на върхове и отношения между тях (например, връзки за запознанства, доверие, съчувствие и т.н.) - под формата на ребра или дъги. Като част от такова описание, задачите за изучаване на структурата на социалните групи, техните сравнения, определението за обобщени показатели, отразяващи степента на напрежение, последователност, взаимодействие и др.

6. Модели на организационни структури, в които върховете са елементи на организационната система, а ребрата или дъги - комуникации (информация, мениджъри, технологични и др.).

5. Задача за най-краткия път

Пример 1. Задача за вълк, коза и зеле. Коза, зеле и вълк са на брега на реката; Превозвачът трябва да ги изпрати по реката, но лодката му е толкова малка, че той може да вземе с него не повече от един от тези три "пътници". По очевидни причини е невъзможно да оставим вълк с коза без надзор и козата със зеле. Как трябва да направи превозвачът?

Тази широко известна задача е лесно решена в ума поради малък брой опции, които трябва да се вземат предвид, въпреки нас, типичен пример за задачата, за намирането на най-краткия път: графиката е начертана на фигура 1 и търси път Водайки от позицията А (когато козата K, кабелна капачка, Wolf B и Carrier P са на десния бряг) до позиция Б (когато всичко се обработва в левия бряг), желаният път е показан на фигурата с удебелени линии .

В по-общ случай е необходим систематичен алгоритъм, ще посочим няколко метода.

Задачата на най-краткия път

Позволете дадена мрежа от N + 1 върхове, т.е. ориентирана графика, в която са маркирани два върха - вход (нулев връх) и изход (връх с номер n). За всяка дъга са дадени номерата, наречени дължини на дъгата. Дължината на пътя (контура) се нарича сумата на дължините на дъгите

(Ако дължините на дъгата не са зададени, дължината на пътя (контура) се определя като броя на включените в него дъги). Задачата е да намерите най-краткия път (минимална дължина) от входа на освобождаването на мрежата.

За съществуването на най-краткия път е необходимо и достатъчно липса на отрицателни схеми.

Да предположим, че в мрежата няма контури. Тогава винаги можете да номерирате върховете по такъв начин, че за всяка дъга (i, j), J\u003e се провеждам. Такова номериране се нарича правилно. Лесно е да се покаже, че в мрежата без вериги винаги има правилното номериране.

Обозначаваме - Дължина на дъгата (I; J). Най-краткият път в мрежата, която има правилното номериране, се определя от следния алгоритъм.

Алгоритъм 1.

;

Стъпка K: Отбелязваме върха k по индекса
i.

Индекс на изхода Тя ще бъде равна на дължината на най-краткия път. (Алгоритъм 1 за динамични програми за програмиране отразяват принципа на оптималността на Bellman: ако се търси най-краткият път между две точки, дължината на пътя между две точки на най-краткия път трябва да бъде минимална.) Фигура 2 показва пример за използването на Алгоритъмът 1 за определяне на най-краткия път (номер Дължините са равни на дължините на дъгата, индексите на върховете се поставят в квадратни скоби, най-краткият път е подчертан с двойни линии).

Когато индексите (наречени в някои задачи на потенциала на върховете) са инсталирани, най-краткият път се определя от метода на обратния ход от влизането в входа, т.е. най-краткият начин е пътят
, такова
и т.н.

Следващият алгоритъм дава възможност да се определи най-краткия път в общия случай (т.е. с произволно номериране на върховете).

Алгоритъм 2 (алгоритъм на Ford).

Стъпка 0: Отбелязваме нулевия връх на индекса
, всички други индекси на върховете
, i \u003d 1, n;

Стъпка K: Ние разглеждаме всички дъги. Ако за дъга (I; J)
>След това изчисляваме новото значение
;

Индексите се задават за ограничен брой стъпки. Обозначаваме
- установени стойности на индекса, които притежават следното свойство: стойност равен на дължината на най-краткия път от нула върха към върха I. Най-късият път от връх 0 до върха I се определя от метода на обратен ход.

Ако дължините на всички дъги не са неотрицателни, следващият алгоритъм е приложим за търсене на най-краткия път.

Алгоритъм 3.

Стъпка 0: Отбелязваме нулевия връх на индекса
;

Стъпка K: Нека някои върхове вече са били маркирани. Обозначават с q - много незащитени върхове, съседни на етикетирани. За всеки връх
Изчислете величината
Където минимумът се приема на всички маркирани върхове I, в непосредствена близост до Vertex k. Отбелязваме върха k, за която стойността Минимален, индекс
.

Повторим такава процедура, докато се маркира Vertex N. Дължината на най-краткия път е равна И най-краткият път се дефинира така, както е описано по-горе.

По същия начин е формулирана задачата на най-късата пътека и задачата на максималния (самотен) път е решен - е достатъчно да промените знаците на дъгите към обратното и да разрешите задачата на най-краткия път. Да съществува, проблемът с максималния път е необходим и достатъчно липса на схеми на положителни дължини.

Задачата за търсене на максималната надеждност на дължината на дължината на дъгата се интерпретира, например, тъй като вероятността, че има връзка между съответните две точки. Смяна на дължините на дъгите на техните логаритми, взети с обратни признаци, ние получаваме, че пътят на максималната надеждност в източника ще съответства на най-късият път в новата колона.

Пример 1.

Фиг. 3. Първоначални данни за задачата на най-краткия път.

Ситуацията може да бъде описана не само чрез ориентирана графика, но и таблица (таблица 1).

Маса 1. Първоначални данни за задачата на най-краткия път

Старт на дъгата

Край на дъгата

Време за пътуване

Задачата се изисква: как да стигнете от топ 1 до топ 4?

Решение.Ние въвеждаме обозначението: c (t) - дължината на най-краткия път от Vertex 1 към върха на Т. (тъй като всеки път, който трябва да се счита, се състои от дъги, и дъгата е пълен номер и всеки влиза в не Повече от веднъж, тогава винаги се постигат кандидатите за най-краткия път на броя и минимум на крайния брой елементи.) Разглежданият проблем се състои в изчисляването (4) и посочва пътя, по който се постига този минимум.

За източниците на данни, показани на фиг. 3 и в таблица. 1, в Vertex 3 влиза само на една стрелка, само от Vertex 1 и за тази стрелка стои дължината му, равна на 1, следователно с (3) \u003d 1. Освен това е очевидно, че с (1) \u003d 0.

В Vertex 4 можете да получите или от Vertex 2, преминаване на пътя, равен на 4 или от Vertex 5, преминаване на пътеката, равна на 5. Следователно, връзката С (4) \u003d min (С (2) + 4) ° С (5) + 5).

По този начин преструктурирането на проблема е извършено - намирането от (4) се намалява до намиране от (2) и от (5).

В Vertex 5 е възможно да се влезе или на Vertex 3, като преминат пътеката, равна на 2 или от Vertex 6, преминаване на пътя, равен на 3. Следователно, съотношението С (5) \u003d min (° С (3) + 2; ° С (6) + 3).

Ние знаем това с (3) \u003d 1. Следователно с (5) \u003d min (3; C (6) + 3).

Тъй като е очевидно, че с (6) е положително число, след това от последното съотношение следва това с (5) \u003d 3.

В Vertex 2 е възможно да се получи или от върха 1, преминаване на пътя, равен на 7 или от Vertex 3, преминаване на пътя, равен на 5 или от Vertex 5, преминаване на пътя 2. Следователно, съотношението на С (2) \u003d мин (С (1) + 7; С (3) + 5; С (5) + 2).

Ние знаем това с (1) \u003d 0, С (3) \u003d 1, С (5) \u003d 3. Следователно с (2) \u003d min (0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) \u003d 5.

Сега можем да намерим C (4): C (4) \u003d min (с (2) + 4; C (5) + 5) \u003d min (5 + 4; 3 + 5) \u003d 8.

По този начин, дължината на най-краткия път е 8. От последната връзка е ясно, че в Vertex 4 е необходимо да преминете през Vertex 5. Връщайки се към изчислението от (5), виждаме това в горната част на това е необходимо да преминете през върховете 3. и в топ 3 можете да получите само от Vertex 1. Така че най-късата пътека е: 1 → 3 → 5 → 4.

Задачата на най-краткия път за конкретни източници (фиг. 3 таблица 1) е напълно решен.

Пример 2.

Намерете най-краткия път (дължина на пътя) от Akademgorodok (Stop Color Travel) до гара.

Спри се:

цветно преминаване

къща на Брета

3.3 "- Институт за ядрена физика

4 вана №22.

5 Речна станция

6 - канализация

7 - кафе "Spark"

8 - Повечето

9 - Основната станция

Намерете най-късата пътека от топ 1 до върховете 9.

Първоначални данни:

Фиг. четири

Маса. 2.

Старт на дъгата

Край на дъгата

Дължина път (км.)

3,06

10,9

26,78

21,57

4,26

4,35

2,55

Решение: C (t) - дължината на най-краткия път от връх 1 до върха на Т. трябва да намерим от (9).

C (1) \u003d 0, C (2) \u003d 3 (само една стрелка е включена в Vertex 2, нейната дължина е 3).

На върха 9 можете да получите отгоре 5, преминаване на пътя 4.35, отгоре 6, преминаване на пътеката 25 и от Vertex 8, преминаване на пътеката 2.55.

Следователно, с (9) \u003d min (с (5) + 4.35; ° С (6) + 25; ° С (8) + 2.55)

Така е необходимо да се намери с (5), С (6), С (8).

В Vertex 5 можете да излезете от върха 1, преминаване на пътеката 26.78, или от топ 7, след като сте преминали пътеката 19

C (5) \u003d min (с (1) + 26.78; ° С (7) + 19)

Необходимо е да се намери от (7). В Vertex 7 можете да получите от Vertex 3, преминаване на пътеката 7.6 и от 3 "преминават 7.6.

C (7) \u003d min (с (3) + 7.6; ° С (3 ") + 7.6) \u003d min (1.7 + 7.6; 3.06 + 7.6) \u003d 9.3

C (5) \u003d min (26.78; 9.3+ 19) \u003d 26.78

В Vertex 6 можете да получите от топ 2, като сте преминали по пътя, равен на 0.5

C (6) \u003d C (2) + 0.5 \u003d 3 + 0.5 \u003d 3.5

В Vertex 8 можете да излезете от топ 4, преминаване на пътеката 21.57 и от Vertex 5, преминаване на пътя 4.62.

C (8) \u003d min (с (4) + 21,57; ° С (5) + 4,26)

C (4) \u003d 10.9 (от състоянието).

С (8) \u003d мин (10,09+ 21,57; 26.78 + 4.26) \u003d 31.4

Следователно

C (9) \u003d min (26,78 + 4.35; 3.5 + 25; 31,4 + 2.55) \u003d min (31,13; 28.5; 33.95) \u003d 28.5

Така дължината на най-краткия път е равна на 28,5 км.

Най-късият път: 1 → 2 → 6 → 9.

6. Алгоритъм за намиране на максималния поток

Идеята на този алгоритъм е да се намери чрез начини с положителни потоци от източника до канализацията.

Помислете за ръба (i, j) с (първоначална) честотна лента
. В процеса на извършване на алгоритъма за част от тези честотни ленти, "по-близо" от потоци, преминаващи през този ръб, в резултат на това всеки ръб ще има остатъчна честотна лента. Рекорд
- остатъчна честотна лента. Мрежата, в която всички ръбове имат остатъчна честотна лента, нека да се обадим остатъчни.

За произволен възел J получава поток от възел I, ние определяме етикета
където - стойността на потока, протичаща от J възел към възела I. За да намерите максималния поток, изпълнете следните действия.

Етап 1.

За всички ребра ще поставим остатъчната честотна лента с еднакво начална честотна лента, т.е. Гарантиране
=
. Назначаване
И маркирайте етикета на възела 1. Ние приемаме i \u003d 1.

Етап 2.

- множество възли J, в които можете да отидете от възел I на ръба с положителна остатъчна честотна лента \u003e 0 за всички j . Ако
Извършваме 3 етапа, в противен случай се обръщаме към 4.

Етап 3.

В Ние намираме възел К, такъв, че
. Слагам
и маркирайте възела k
. Ако K \u003d N, преминаването през пътеката е намерено и отидете на 5-ия етап, в противен случай приемаме i \u003d K и се връщат на 2 етапа.

Етап 4.

Върнете се обратно. Ако i \u003d 1, през пътя не е възможно и отидете на 6. ако
, ние намираме маркиран възел R, директно пред възел I, и го изваждам от множество възли в непосредствена близост до Rod. Ние приемаме i \u003d r и се връщам на 2 етап.

Етап 5.

Определяне на остатъчната мрежа
. Обозначава с множество възли, през които p the, открит по пътя от източника (възел 1) към канализационния възел (възел n). След това максималният поток, преминаващ по този път

Остатъчните ленти на ребрата, съставляващи по пътеката по същество В посока на движение на потока и увеличаване на една и съща стойност в обратна посока.

Така За реброто (i, j), което е включено в пътния път, текущите остатъчни честотни ленти се променят:

1)
Ако потокът идва от възела I към J,

2)
Ако потокът идва от J към i.

Етап 6.

Решение.

а) за m намерено преминаване през максималния поток се изразява

б) с първоначални стойности
и крайни
Ребрата честотна лента (I, J), може да се изчисли оптималният поток през този ръб, както следва. Слагам. Ако \u003e 0, потокът, минаващ през ръба (i, j) е равен . Ако \u003e 0, тогава потокът е равен . (делото, когато в същото време \u003e 0 I. \u003e 0, невъзможно).

Пример 1. Намерете максималния поток в мрежовия ориз. един

Итерация 1.
=

1)
и маркираме етикета на възела 1
. I \u003d 1.

2)

3) k \u003d 3, тъй като. Назначаване
и маркираме етикета на възела 3
. i \u003d 3 и се върна на 2)

4)

5) k \u003d 5 и. Ние отбележете етикета на възел 5
. Преминаваме през пътеката.

6) Пътят от край до край се определя от етикети, започвайки от възел 5 и завършващ с възел 1 :.
:

Итерация 2.

1)
и маркираме етикета на възела 1
. I \u003d 1.

2)

3) k \u003d 2, и етикет с етикет 2
. i \u003d 2 и се върна на 2)

2")

3") k \u003d 3 и
. Отбелязваме етикета на възела 3
. i \u003d 3 и се върна на 2)

2 ")
(
Затова възел 5 не се включва

3 ") k \u003d 4,
и маркираме етикета на възела 4
. I \u003d 4 и се върна на 2)

2""")
(Тъй като са маркирани възли 1 и 3, те не са включени в )

3""") k \u003d 5 и
. Ние отбележете етикета на възел 5
. Получава се кратък път. Отидете на 5)

5)
и. Изчислете остатъчните ленти по пътя :

Итерация 3.

1)
и маркираме етикета на възела 1
. I \u003d 1.

2)

3) k \u003d 2,
и маркираме етикета на възела 2
. i \u003d 2 и се върна на 2)

2")

Фиг. 2. Изходни данни за пример 2

Първоначални данни за транспортната система, например, интравентен, показан на фиг. 2, можете да зададете таблицата (Таблица 2).

Таблица 2. Изходни данни за задачата на максималния поток

Точка на заминаване

Дестинация

Честотна лента

Очевидно максималната пропускателна способност на транспортната система не надвишава 6, тъй като не могат да се изпращат не повече от 6 единици стоки от първоначалната клауза 0, а именно 2 единици до параграф 1, 3 от този в параграф 2 и 1 Параграф 3. След това е необходимо да се постигне всички 6 на стоките, публикувани от точка 0, достигнаха последната точка 4. Очевидно 2 единици, които стигнаха до параграф 1, могат да бъдат изпратени директно до клауза 4. Стоките, които са дошли в параграф 2, ще бъдат трябва да бъдат разделени: 2 единици незабавно изпрати до параграф 4 и 1 единица - в междинен параграф 3 (поради ограничената честотна лента на площадката между параграфи 2 и 4). Параграф 3 Доставена такава стока: 1 единица от клауза 0 и 1 единица от параграф 3. Те са изпратени до клауза 4. Така че максималната пропускателна способност на разглежданата транспортна система е 6 единици товар. В същото време вътрешните участъци (клонове) не се използват между параграфи 1 и 2, както и между параграфи 1 и 3. браншът между параграфи 1 и 4 не се прилага - 2 единици товар на 3 единици са насочени то. Решението може да бъде представено като таблица (Таблица 3)

Таблица 3. Решаване на проблема с максималния поток

Точка на заминаване

Дестинация

Транспортния план

Честотна лента

Задачата за линейно програмиране при максимизиране на потока.Нека дадем формулирането на задачата на максималния поток по отношение на линейното програмиране. Нека X km е обемът на транспорта от точка до параграф М. Съгласно фиг. 2 k \u003d 0,1,2,3, m \u003d 1,2,3,4 и транспортирането е възможно само за елемента с голям брой. Това означава, че има 9 променливи X km, а именно, X 01, X 02, X 03, X 12, X 13, X 14, X 23, X 24, X 34. Задачата на линейно програмиране, насочено към максимално увеличаване на потока , има формата:

F → Макс,

X 01. + X 02. + X 03. = F (0)

– X 01. + X 12. + X 13. + X 14 \u003d 0 (1)

– X 02. - X 12. + X 23. + X 24 \u003d 0 (2)

– X 03. - X 13. - X 23. + X 34 \u003d 0 (3)

– X 14. - X 24. - X 34 \u003d - F (4) \\ t

X 01 ≤ 2

X 02 ≤ 3

X 03 ≤ 1

X 12 ≤ 4

X 13 ≤ 1

X 14 ≤ 3

X 23 ≤ 1

X 24 ≤ 2

X 34 ≤ 2

X km ≥ 0, k, m \u003d 0, 1, 2, 3, 4

F ≥ 0.

Тук F е целевата функция, състоянието (0) описва въвеждането на стоки в транспортната система. Условия (1) - (3) Задайте коефициентите на баланса за възлите 1-3 от системата. С други думи, за всеки от вътрешните възли входящата нишка на стоките е равна на изходящия поток, товари не се натрупват вътре и системата и не "родени" в нея. Състояние (4) е състоянието на "изхода" на стоки от системата. Заедно с условието (0), това е съотношение баланс за системата като цяло ("запис" е равно на "изход"). Следващите девет неравенства определят ограничения на честотната лента на индивидуалните "клонове" на транспортната система. След това е посочен негативността на транспортните обеми и целевата функция. Ясно е, че последната неравенство произтича от вида на целевата функция (отношения (0) или (4)) и не-отрицателни транспортни обеми. Въпреки това, последното неравенство носи някаква цялостна информация - чрез системата може да се пропусне или положителното количество товар, или нула (например, ако вътре в системата се движи в кръг), но не и отрицателен (той няма икономическо значение , но формалният математически модел за това "знае").

Заключение

В тази статия разгледахме необходимите минимални концепции, които ни позволяват да продължим изучаването на теорията на графиките. В края на краищата, ние бяхме докоснати само до върха на огромен айсберг, отцеждайки няколко подхода за решаване на икономически проблеми. Теорията на графиките не се ограничава до изследването на някои отделни явления или процеси, тя намира използване в голямо разнообразие от наука и технологии.

Беше взети предвид алгоритмите за решаване на проблема с най-краткия път и намиране на максималния поток, примери се разглобяват. В техния пример е доказано, че значението на теорията на графиките е доказано, че оптимизира икономическите задачи.

Примерът за най-краткия път също е съставен и разрешен, свързан с нашето ежедневие. Задачата беше да се намери най-краткият път (дължината на пътя в км.) От Akademgorodka (Stop Color Travel) до гарата на главната.

Списък на препратките

"Сорос образователен вестник" №11 1996 (чл. "Плоски графики");

"Да помогне на учителя по математика", Йострар-Ола, 1972 чл. "Изучаване на елементи на теорията на графиките"

BERGER, K.S.TORIA графики и нейното приложение. / К. С. Берж.- М.: IL, 2007.-178C.

Буков, v.n. Елементи на теорията на графиките. / ° С. Н. Буков. - м.: Образование, 2010.-352в.

Гарднър, М. с "Математическо свободно време". / M. S. Gardner.- m: "мир", 2004.-347в.

Гарднър, М. С. "Математически пъзели и развлечения". / M с Гарднър.-m. : "Мир", 2005.-221в.

Зюков, А. А. Теория на крайните графики. / А. А. Зюков. - Новосибирск: "Наука", 2006.-257в.

Kasatkin, v.n. "Необичайни задачи по математика." / V. N. Kasatkin. - Киев: "Радианско училище", 2007.-232в.

Olochnik, S. N. "Древни забавни задачи." / C.N. Олелник.- М. "Наука", 2008.-431в.

Руда, O. S. "графики и техните приложения." / О. S. ore.- m.: "Мир", 2005-269в.

Рени, А. Н. "Трилогия на математиката ./ A. N. Reni.- m.:" Мир ", 2010-198 ° С.