रेखांकन

स्तंभ अठारहवीं शताब्दी में उभरे, जब प्रसिद्ध गणितज्ञ, लियोनार्ड यूलर ने अब कोनिग्सबर्ग पुलों के शास्त्रीय कार्य को हल करने की कोशिश की। उस समय कोनिग्सबर्ग शहर में प्रीस्टोल नदी के किनारे और एक दूसरे के साथ दो पुलों से जुड़े दो जिलों और एक दूसरे के साथ चित्र में दिखाया गया था। 7.1। 3 एडचा निम्नानुसार है: शहर के चारों ओर घूमना ताकि, प्रत्येक पुल के लिए बिल्कुल एक बार गुजर गया, उसी स्थान पर लौट आया जहां चलना शुरू हुआ। इस कार्य को हल करने के लिए, यूलर ने कोनिग्सबर्ग को एक ग्राफ के रूप में चित्रित किया, शहर के हिस्सों के साथ अपने शिखर की पहचान, और पुलों के साथ पसलियों को ये भागों जुड़े हुए हैं। जैसा कि हम 7.1 में दिखाते हैं, यूलर यह साबित करने में कामयाब रहे कि शहर का स्पष्ट मार्ग मौजूद नहीं है।

चित्रा 7.1। पुराने कोनिग्सबर्ग की योजना

इस अध्याय में, हम ग्राफ के सिद्धांत में उपयोग की जाने वाली मानक शब्दावली पेश करते हैं, और ग्राफ का उपयोग करके कई विशिष्ट कार्यों को हल करते हैं। विशेष रूप से, हम पेड़ों नामक ग्राफ की कक्षा से परिचित हो जाएंगे। पेड़ एक प्राकृतिक मॉडल हैं जो पदानुक्रम प्रणाली में व्यवस्थित डेटा का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक पेड़ के बाद एक पेड़ को हाइलाइट करने और एक पेड़ में डेटा सॉर्ट करने के लिए कंप्यूटर विज्ञान में प्रयास के आवेदन का एक महत्वपूर्ण बिंदु है। इस अध्याय में परिशिष्ट में, हम पेड़ों में व्यवस्थित डेटा की छँटाई और खोज से निपटेंगे।

ग्राफ और शब्दावली

अंजीर में। 7.1 कोनिग्सबर्ग के सात पुलों को दर्शाता है। वे कैसे अठारहवीं शताब्दी में स्थित थे। जिस कार्य में यूलर प्रकाशित किया गया था, यह पूछा जाता है: क्या यह एक पैदल मार्ग ढूंढना संभव है जो प्रत्येक पुलों पर एक बार गुजरता है और शहर के एक ही स्थान पर शुरू होता है और समाप्त होता है?

कार्य का मॉडल है ग्राफ,परामर्श verkhin और सेट करें पसलियांकनेक्टिंग कोण। श्लोक ए, बी, सी और डी नदी और द्वीप के किनारे, और पसलियों का प्रतीक ए, बी।, सी।, डी,एफ तथा जी सात पुलों को दर्शाता है (चित्र 7.2 देखें)। वांछित मार्ग (यदि यह मौजूद है) ग्राफ के किनारों को इस तरह से छोड़ने के अनुरूप है कि उनमें से प्रत्येक केवल एक ही समय है। रिब का मार्ग स्पष्ट रूप से पुल पर नदी के चौराहे से मेल खाता है।

चित्रा 7.2। Koenigsberg के पुलों के कार्य का मॉडल

ग्राफ जिसमें एक मार्ग है, एक मार्ग है और एक शीर्ष में समाप्त होता है, और एक बार ग्राफ के सभी किनारों में गुजर रहा है, जिसे एक बार कहा जाता है ज़ाइलर ग्राफ।शिखर का अनुक्रम (शायद पुनरावृत्ति के साथ) जिसके माध्यम से वांछित मार्ग गुजरता है, जैसे मार्ग स्वयं को कहा जाता है यूलर चक्र। यूलर ने देखा कि यदि कॉलम में साइकिल यूलर हैं, तो प्रत्येक किनारे के लिए कुछ शीर्षक की ओर अग्रसर होने के लिए, इस कशेरुक 1 को छोड़कर एक और किनारा होना चाहिए, और इस सरल अवलोकन से इस तरह का निष्कर्ष प्राप्त हुआ: यदि इस ग्राफ में एक चक्र है इस ग्राफ में, प्रत्येक कशेरुक को पसलियों की एक संख्या से संपर्क किया जाना चाहिए।

इसके अलावा, यूलर विपरीत बयान को साबित करने में कामयाब रहे, इसलिए ग्राफ जिसमें कोई भी जोड़ी पसलियों के कुछ अनुक्रम से जुड़ी हुई है, तब एक यूलर है और केवल तभी अपने सभी कोने की डिग्री भी होती है। डिग्री कविता वी। नंबर δ (v) कहा जाता है रिब, वह आकस्मिक 2 .

यह अब स्पष्ट है कि कॉलम में जो कोएनग्सबर्ग पुलों के कार्य को अनुकरण करता है, चक्र यूलियन असंभव है। दरअसल, इसके सभी शिखर की डिग्री विषम है: δ(बी) = Δ (सी)\u003d δ (d) \u003d 3 और δ(ए।) \u003d 5. यूलर ग्राफ के हल्के हाथ के साथ, जिसे हमने पुलों के कार्य को हल करते समय जांच की थी, कई व्यावहारिक कार्यों को हल करने में उपयोग करना शुरू कर दिया, और उनका अध्ययन गणित के एक महत्वपूर्ण क्षेत्र में बढ़ गया।

सरल ग्राफएक जोड़ी जी \u003d (वी,) के रूप में निर्धारित इ)जहां वी शिखर का एक सीमित सेट है, और इ।- पसलियों का परिमित सेट, और इसमें शामिल नहीं हो सकते छोरों(एक वर्टेक्स में शुरू होता है और समाप्त होता है) और एकाधिक पसलियाँ(एकाधिक को एक ही जोड़ी को कोने को जोड़ने वाले कई पसलियों कहा जाता है)। ग्राफ अंजीर में दिखाया गया। 7.2। सरल नहीं है क्योंकि, उदाहरण के लिए, शिखर लेकिन अतथा मेंवे दो पसलियों से जुड़े हुए हैं (बस इन पसलियों को एकाधिक कहा जाता है)।

दो शिखर यू तथा वीएक साधारण ग्राफ में कहा जाता है सटा हुआयदि वे कुछ किनारे से जुड़े हुए हैं इ।जिसके बारे में वे कहते हैं घटनाशीर्ष यू। (और वी। ). इसलिए हम बहुत कल्पना कर सकते हैं इ।रिब्स आसन्न शिखर के जोड़ों के एक सेट के रूप में, इस प्रकार सेट पर nonflexive, सममित दृष्टिकोण निर्धारित किया वीप्रतिबिंब की कमी इस तथ्य के कारण है कि सरल कॉलम में कोई लूप नहीं है, यानी पसलियों, जिनमें से दोनों एक चरम पर हैं। एक ही रिश्ते की समरूपता इस तथ्य से बहती है कि किनारे इ।कनेक्टिंग वर्टेक्स तथासे वी,कनेक्ट I वीसे तथा(दूसरे शब्दों में, पसलियों उन्मुख नहीं हैं, यानी दिशाएँ नहीं हैं)। एक साधारण ग्राफ का एकमात्र किनारा जो कुछ कोने को जोड़ता है यू तथा वी,हम के रूप में निरूपित करेंगे iv।(या vd)।

ग्राफ के शिखर के सेट पर रिश्ते के तार्किक मैट्रिक्स, जो उसकी पसलियों द्वारा निर्धारित है, को कहा जाता है , सहखंडज मैट्रिक्स। आसन्नता के मैट्रिक्स के संदर्भ में अनुपात की समरूपता का मतलब है कि एम मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित। और मैट्रिक्स एम के मुख्य विकर्ण पर इस संबंध की nonflexitivity के कारण "एल" का प्रतीक है।

उदाहरण 7.1। ग्राफ ग्राम (वी, ई) एकाधिक शिखर के साथ v \u003d (ए, बी, सी, डी, ई) और कई पसलियों ई \u003d (एबी, एई, बीसी, बीडी, सीई, डी)। अपने हथियार मैट्रिक्स लिखें।

फेसला। ग्राफ जी अंजीर में दिखाया गया है। 7.3।

चित्रा 7.3।

इसके आसन्न मैट्रिक्स में फॉर्म है:

ग्राफ को पुनर्स्थापित करने के लिए, हम पर्याप्त रूप से आसन्न मैट्रिक्स के उन तत्वों को पर्याप्त रूप से देखते हैं जो मुख्य विकर्ण के ऊपर खड़े हैं।

उपग्रहगिनती जी \u003d (वी, ई) को ग्राफ जी '\u003d (वी', ई ') कहा जाता है, जिसमें ई' सी ई और वी 'सी वी।

उदाहरण 7.2।चित्र में दिखाए गए ग्राफ एच, के और एल के बीच खोजें। 7.4, ग्राफ जी उपग्रह

फेसला।चित्र जी, एच और के के शीर्ष को इंगित करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 7.5। ग्राफ एच और के जी में उप-समूह हैं, जैसा कि हमारे पदनामों से देखा जा सकता है। गिनती एल जी में एक उपग्रह नहीं है, क्योंकि उसके पास इंडेक्स 4 का शीर्ष है, और ग्राफ जी ऐसा नहीं है।

मार्गलंबाई क। ग्राफ जी में, कोर्टिस का एक अनुक्रम कहा जाता है वी 0 , वी 1 , …, वी क। , प्रत्येक I \u003d 1 के लिए क्या, ..., के जोड़े वी मैं। – 1 वी मैं। ग्राफ के किनारे बनाता है। हम इस तरह के एक मार्ग को निंदा करेंगे वी 0 वी 1 … वी क। . उदाहरण के लिए, 1 4 3 2 5 उदाहरण 7.2 से ग्राफ जी में लंबाई 4 का मार्ग है।

जी एच

क। एल

चित्रा 7.4।

चक्रकॉलम में, यह शिखर के अनुक्रम को कॉल करने के लिए प्रथागत है वी 0 , वी 1 , … , वी क। , जिनमें से प्रत्येक एक किनारे का अंत है, और वी 0 = वी 1 और शेष शिखर (और पसलियों) को दोहराया नहीं जाता है। दूसरे शब्दों में, चक्र एक बंद मार्ग है जो प्रत्येक शीर्ष और किनारे केवल एक बार गुजर रहा है

1 2 1 2 3

चित्रा 7.5।

उदाहरण 7.3।उदाहरण 7.2 से ग्राफ जी में चक्र खोजें।

फेसला।इस कॉलम में लंबाई 5 के दो अलग-अलग चक्र हैं:

1 3 2 5 4 1 और 1 2 5 4 3 1

हम इन चक्रों को एक ही दिशा में और दूसरे दोनों में पारित कर सकते हैं, जो चक्र के मनमानी शीर्ष से शुरू होता है। इसके अलावा, कॉलम में 4 के तीन अलग-अलग चक्र हैं:

1 2 5 4 1, 1 2 3 4 1 और 2 5 4 3 2,

और लंबाई 3 के दो चक्र:

1 2 3 1 और 1 3 4 1।

गिनती जिसमें कोई चक्र नहीं है, जिसे कहा जाता है अक्लिक। गणना में होने वाले पेड़ों की संरचना एसीआईसी एसिड ग्राफ का एक विशेष मामला है। बाद में इस अध्याय में, हम उनके साथ सौदा करेंगे।

गिनती, कहा जाता है जुड़े हुएयदि उसके शिखर की कोई भी जोड़ी कुछ मार्ग से जुड़ती है। किसी भी सामान्य ग्राफ को उप-समूह में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक जुड़ा होगा। ऐसे जुड़े घटकों की न्यूनतम संख्या कहा जाता है जुड़ाव की संख्याग्राफ और के माध्यम से निरूपित सी।(जी) । कंप्यूटर नेटवर्क के ग्राफ सिद्धांत के अनुप्रयोगों में कनेक्टिविटी मुद्दे महत्वपूर्ण हैं। निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग ग्राफ की कनेक्टिविटी की संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

कनेक्टिविटी एल्गोरिदम।

जी \u003d (वी, ई) एक ग्राफ बनें। एल्गोरिदम को मूल्य की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है सी। = सी।(जी), वे। इस ग्राफ की जुड़ाव के घटक की संख्या जी।

V ': \u003d v;

जबकिV '≠ Øकर।

Y є का चयन करें। वी’

वाई के साथ रूट कनेक्टिंग रूट खोजें;

से ऊपर से निकालेंवी'मैं।

ई के उपयुक्त किनारों;

सी।:= सी।+1;

उदाहरण 7.4।चित्र में दिखाए गए ग्राफ पर कनेक्टेड एल्गोरिदम के काम का पता लगाएं। 7.6।

चित्रा 7.6।

फेसला।तालिका देखें। 7.1।

तालिका 7.1।

स्रोत मूल्य	{1,2,3,4,5,6,7,8}
Y \u003d 1 का चयन
पसंद y \u003d 2
Y \u003d 7 का चयन

इसलिए, सी।(जी) = 3. कनेक्टिविटी के संबंधित घटक अंजीर में दिखाए जाते हैं। 7.7।

5

ग्राफ का सिद्धांत - असतत गणित के व्यापक वर्गों में से एक का व्यापक रूप से आर्थिक और प्रबंधकीय कार्यों को हल करने, प्रोग्रामिंग, रसायन शास्त्र, डिजाइन और विद्युत श्रृंखला, संचार, मनोविज्ञान, मनोविज्ञान, समाजशास्त्र, भाषाविज्ञान, ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में अध्ययन में उपयोग किया जाता है। ग्राफ का सिद्धांत व्यवस्थित रूप से और लगातार ग्राफ के गुणों की जांच करता है, जिसे हम कह सकते हैं कि वे इन बिंदुओं के बीच कनेक्शन प्रदर्शित करने वाली रेखाओं के बिंदुओं और सेट के सेट होते हैं। लियोनार्ड यूलर (1707-1882) को ग्राफ सिद्धांत (1707-1882) के संस्थापक माना जाता है, जिसने उस समय कोनिगबर्ग पुलों का कार्य 1736 में फैसला किया था।

ग्राफ का निर्माण सेट पर रिश्तों को प्रदर्शित करने के लिए। उदाहरण के लिए, कई ए। = {ए।1 , ए।2 , ... ए।एन) - कई लोग, और प्रत्येक तत्व को एक बिंदु के रूप में प्रदर्शित किया जाएगा। बहुत से बी = {बी1 , बी2 , ... बीम) - कई स्नायुबंधन (सीधे, आर्क, सेगमेंट - कोई फर्क नहीं पड़ता)। मंच पर ए। इस सेट के लोगों के बीच डेटिंग अनुपात दिया गया है। ग्राफ का निर्माण डॉट्स और लिगामेंट्स से। बंडल एक दूसरे से परिचित लोगों के जोड़ों को बांध देगा। स्वाभाविक रूप से, कुछ लोगों के बीच दोस्तों की संख्या अन्य लोगों से परिचित होने की संख्या से भिन्न हो सकती है, और कुछ अच्छी तरह से हो सकते हैं और किसी से परिचित नहीं हो सकते हैं (ऐसे तत्व किसी अन्य के साथ अंक नहीं जुड़े हुए हैं)। तो यह एक ग्राफ निकला!

तथ्य यह है कि जिसे हमने पहली बार "पॉइंट्स" कहा जाता है उसे ग्राफ के शिखर कहा जाना चाहिए, और तथ्य यह है कि उन्होंने "बंडल" - ग्राफ के किनारों को बुलाया।

ग्राफ का सिद्धांत सेट की विशिष्ट प्रकृति को ध्यान में नहीं रखता है ए। तथा बी। विभिन्न विशिष्ट कार्यों की एक बड़ी संख्या है, जब यह हल करते हैं कि कौन सा अस्थायी रूप से सेट और उनके तत्वों की विशिष्ट सामग्री के बारे में भूल सकता है। यह विशिष्टता इसकी कठिनाई के बावजूद समस्या को हल करने की समस्या को प्रभावित नहीं करती है! उदाहरण के लिए, इस सवाल को हल करते समय क्या यह बिंदु से संभव है ए। मुद्दे पर आएं इ।, केवल अंक लाइनों को जोड़कर आगे बढ़ते हुए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम लोगों, शहरों, संख्याओं आदि से निपट रहे हैं। लेकिन जब कार्य हल हो जाता है, तो हमें ग्राफ के रूप में मॉडलिंग की गई किसी भी सामग्री के लिए एक समाधान सही मिलता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस बनाते समय ग्राफ का सिद्धांत सबसे अधिक मांग किए जाने वाले औजारों में से एक है: क्योंकि कृत्रिम बुद्धि संवाददाताओं और प्यार के प्रश्नों और संगीत या खेल के प्रश्न, और विभिन्न कार्यों को हल करने के मुद्दों के साथ चर्चा कर सकती है, और विभिन्न कार्यों को हल करने के लिए, और यह किसी भी संक्रमण (स्विचिंग) के बिना करता है जिसके बिना ऐसे मामलों में कोई व्यक्ति नहीं कर सकता है।

और अब ग्राफ की सख्त गणितीय परिभाषाएं।

परिभाषा 1।गिनती कहा जाता है इन वस्तुओं के कुछ जोड़े को जोड़ने वाले मनमानी प्रकृति (कोने) और लिगामेंट्स (रोबर) की वस्तुओं की व्यवस्था।

परिभाषा 2।रहने दो वी - (गैर-खाली) एकाधिक चोटियों, तत्वों वी∈वी - छंद। ग्राफ़ जी = जी(वी) बहुत सारे कोने के साथ वी जोड़े के कुछ अर्धचालक हैं: इ। = (ए।, बी) कहां है ए।,बी∈वी यह दर्शाता है कि कौन से कोने जुड़े रहते हैं। प्रत्येक पैरा इ। = (ए।, बी) - एज ग्राफ़। बहुत से यू - कई रिय्यूबर्स इ। ग्राफ। वर्सशिन ए। तथा बी - रिब के अंतिम बिंदु इ। .

डेटा संरचना के रूप में ग्राफ। कंप्यूटर साइंसेज और सूचना प्रौद्योगिकियों में ग्राफ के सिद्धांत का व्यापक उपयोग डेटा की संरचना के रूप में गिनती की परिभाषाओं के अतिरिक्त होने के कारण है। कंप्यूटर विज्ञान और सूचना प्रौद्योगिकियों में, गिनती को गैर-रैखिक डेटा संरचना के रूप में परिभाषित किया जाता है। डेटा की रैखिक संरचना क्या है और ग्राफ उनसे अलग कैसे हैं? रैखिक डेटा संरचनाओं को इस तथ्य से विशेषता है कि "सरल पड़ोस" प्रकार के संबंधों के तत्व जुड़े हुए हैं। रैखिक डेटा संरचनाएं, उदाहरण के लिए, सरणी, टेबल, सूचियां, कतार, ढेर, रेखाएं हैं। उनके विपरीत नॉनलाइनर डेटा संरचनाएं - जिनमें से तत्व पदानुक्रम के विभिन्न स्तरों पर स्थित हैं और तीन प्रकारों में विभाजित हैं: प्रारंभिक, जेनरेटेड और पसंद। तो, ग्राफ एक nonlinear डेटा संरचना है।

ग्रीक मूल का ग्राफ शब्द, "मैं लिखता हूं" शब्दों से, "मैं वर्णन करता हूं"। इस आलेख की शुरुआत से, यह ज्ञात है कि यह ग्राफ का वर्णन करता है: यह रिश्ते का वर्णन करता है। यही है, कोई भी ग्राफ संबंधों का वर्णन करता है। इसके विपरीत: किसी भी दृष्टिकोण को ग्राफ के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

ग्राफ सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

घटना की अवधारणा आवश्यक है और ग्राफ के साथ कई व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए एल्गोरिदम की तैयारी में। उदाहरण के लिए, आप प्रोग्राम कार्यान्वयन के साथ खुद को परिचित कर सकते हैं। घटना मैट्रिक्स द्वारा प्रतिनिधित्व ग्राफ की गहराई में बाईपास । विचार सरल है: आप केवल पसलियों से जुड़े शिखर के माध्यम से आगे बढ़ सकते हैं। और यदि किनारों को कुछ मूल्यों ("तराजू" को असाइन किया जाता है, अक्सर संख्याओं के रूप में, ऐसे ग्राफ को निलंबित या लेबल कहा जाता है), तो जटिल लागू कार्यों को हल किया जा सकता है, जिनमें से कुछ अंतिम अनुच्छेद में उल्लेख किए गए हैं इस पाठ का।

ग्राफ सिद्धांत और समाधान के क्लासिक कार्य

ग्राफ के सिद्धांत पर काम के पहले प्रकाशित उदाहरणों में से एक और ग्राफ के आवेदन "कोनिग्सबर्ग ब्रिजेस के साथ कार्य" (1736) का काम है, जिसका लेखक 18 वीं शताब्दी लियोनार्ड यूलर का उत्कृष्ट गणितज्ञ है। यह कार्य नदी द्वारा दिया जाता है, द्वीप जो इस नदी से धोए जाते हैं, और कई पुलों। प्रश्न समस्या: क्या यह संभव है, कुछ बिंदु से बाहर आ रहा है, केवल एक बार हर पुल के माध्यम से जाओ और प्रारंभिक आइटम पर वापस आएं? (नीचे का चित्र)

कार्य को निम्नानुसार अनुकरण किया जा सकता है: एक बिंदु सुशी के प्रत्येक खंड से जुड़ा हुआ है, और दो बिंदु लाइन से जुड़े होते हैं यदि केवल तभी जब संबंधित भूमि भूखंड पुल से जुड़े होते हैं (नीचे दिए गए आंकड़े, कनेक्टिंग लाइनें खींची जाती हैं बिंदुयुक्त रेखा)। इस प्रकार, एक ग्राफ बनाया गया है।

कार्य के सवाल का यूलर का जवाब इस प्रकार है। यदि इस कार्य में सकारात्मक निर्णय था, तो परिणामी कॉलम में किनारों के साथ गुजरने वाला एक बंद रास्ता होगा और केवल एक बार प्रत्येक किनारे वाला होता है। यदि ऐसा कोई तरीका है, तो प्रत्येक वर्टेक्स में केवल एक पाठक संख्या होनी चाहिए। लेकिन परिणामी कॉलम में शिखर हैं जिनकी अजीब सवारी होती है। इसलिए, कार्य में कोई सकारात्मक समाधान नहीं है।

स्थापित परंपरा के अनुसार, एक यूलर ग्राफ को एक ग्राफ कहा जाता है जिसमें आप सभी शिखर को बाईपास कर सकते हैं और साथ ही एक बार एक बार एक किनारे को पास कर सकते हैं। इसमें, प्रत्येक वर्टेक्स में केवल एक गेंद संख्या होनी चाहिए। यूलर कॉलम पर औसत कठिनाई का कार्य सामग्री "मूल प्रकार के ग्राफ" में है।

1847 में, किर्चोफ ने रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली को हल करने के लिए पेड़ों के सिद्धांत को विकसित किया, जिससे प्रत्येक कंडक्टर (एआरसी) में और विद्युत सर्किट के प्रत्येक सर्किट में वर्तमान मूल्य के मूल्य को खोजने की अनुमति मिलती है। विद्युत सर्किट और श्रृंखलाओं से सारिंग जिसमें प्रतिरोध, कैपेसिटर्स, अधिष्ठापन इत्यादि शामिल हैं, उन्होंने उचित संयोजक संरचनाओं को माना जाता है जिसमें केवल कोने और कनेक्शन (पसलियों या आर्क) होते हैं, और बांड के लिए यह ध्यान में रखना आवश्यक नहीं है कि बिजली के प्रकार कैसे होते हैं तत्व वे के अनुरूप हैं। इस प्रकार, Kirchhof प्रत्येक विद्युत सर्किट को संबंधित ग्राफ के साथ बदल दिया और दिखाया कि समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए सर्किट ग्राफ के प्रत्येक चक्र को अलग से विचार करना आवश्यक नहीं है।

1858 में कैली, कार्बनिक रसायन शास्त्र के पूरी तरह से व्यावहारिक कार्यों का अध्ययन करते हुए, पेड़ों नामक ग्राफों की एक महत्वपूर्ण श्रेणी खोला। उन्होंने कार्बन परमाणुओं की संख्या के साथ संतृप्त हाइड्रोकार्बन के आइसोमर्स को सूचीबद्ध करने की मांग की। कैली मुख्य रूप से कार्य को सार रूप से तैयार करता है: सभी पेड़ों की संख्या के साथ खोजने के लिए पी शिखर, जिनमें से प्रत्येक डिग्री 1 और 4 के साथ सबसे ऊपर है, वह तुरंत इस समस्या को हल करने में असफल रहा, और यह इस तरह से अपने शब्द को बदलना शुरू कर दिया कि नए लिस्टिंग कार्य को हल करना संभव था:

• रूट पेड़ (जिसमें एक शिखर में से एक को हाइलाइट किया गया है);
• सभी पेड़;
• पेड़, जिसमें शिखर की डिग्री 4 से अधिक नहीं होती है;
• पेड़ जिसमें शिखर की डिग्री 1 और 4 के बराबर होती है (रसायन शास्त्र से कार्य सेट करना)।

बुनियादी अवधारणाओं को सुरक्षित करने के लिए ग्राफ के साथ कार्य

उदाहरण 1। रहने दो ए। - कई संख्या 1, 2, 3: ए। \u003d (1, 2, 3)। संबंध प्रदर्शित करने के लिए एक ग्राफ बनाएं "

फेसला। यह स्पष्ट है कि संख्या 1, 2, 3 को ग्राफ के कोने के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। फिर शिखर की प्रत्येक जोड़ी को एक किनारे से कनेक्ट करना चाहिए। इस कार्य को हल करना, हम ग्राफ सिद्धांत के रूप में इस तरह की बुनियादी अवधारणाओं के लिए आए थे उन्मुख और गैर उन्मुख ग्राफ । अनपेक्षित ग्राफ - जैसे, जिनकी पसलियों में निर्देश नहीं थे। या, जैसा कि वे अक्सर कहते हैं, किनारे के दो सिरों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। वास्तव में, इस सबक की शुरुआत में बनाया गया ग्राफ और लोगों के बीच डेटिंग के दृष्टिकोण को दर्शाता है, को RYUBE की दिशाओं की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह तर्क दिया जा सकता है कि "मैन नंबर 1" "मैन नंबर 2" से परिचित है "" मैन नंबर 1 "के साथ" मैन नंबर 2 "के समान ही। हमारे वर्तमान उदाहरण में, एक संख्या दूसरे से कम है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। इसलिए, ग्राफ के इसी किनारे में एक दिशा होना चाहिए जो दिखाता है कि संख्या दूसरे की तुलना में कितनी कम है। यही है, किनारे के सिरों का क्रम आवश्यक है। इस तरह के एक ग्राफ (एक दिशा होने वाले पसलियों के साथ) को उन्मुख ग्राफ या orgraf कहा जाता है।

तो हमारे सेट में ए। संख्या 1 संख्या 2 और संख्या 3 से कम है, और संख्या 2 संख्या से कम है। यह तथ्य पसलियों द्वारा प्रदर्शित होता है जिनमें तीर द्वारा दिखाया गया एक दिशा होती है। हमें निम्नलिखित ग्राफ मिलता है:

उदाहरण 2। रहने दो ए। - कई संख्या 2, 4, 6, 14: ए। \u003d (2, 4, 6, 14)। इस सेट पर रिश्ते "शेयरों के उद्देश्य" को प्रदर्शित करने के लिए ग्राफ को खड़े करने के लिए।

फेसला। इस उदाहरण में, RYUBE का हिस्सा एक दिशा होगी, और कुछ नहीं करेंगे, यानी, हम निर्माण करेंगे मिश्रित ग्राफ । हम सेट पर रिश्ते को सूचीबद्ध करते हैं: 2 शेयरों का लक्ष्य 2, 6 द्वारा विभाजित 2, 14 को 2 से विभाजित किया गया है, और इस सेट की एक और संख्या स्वयं द्वारा विभाजित है। यह एक रिश्ते है, यानी, जब स्वयं के उद्देश्य से शेयर शेयरों को एक रोबर के रूप में प्रदर्शित किया जाएगा जो आपके साथ वर्टेक्स को जोड़ता है। ऐसी पसलियों को बुलाया जाता है छोरों । इस मामले में, लूप दिशा देने की कोई आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, हमारे उदाहरण में, तीन सामान्य निर्देशित पसलियों और चार लूप। हमें निम्नलिखित ग्राफ मिलता है:

उदाहरण 3। सेट दें ए। \u003d (α, β, γ) और बी \u003d (ए, बी, सी)। "कार्टेशियन उत्पाद सेट" संबंध प्रदर्शित करने के लिए एक ग्राफ बनाएं।

फेसला। जैसा कि परिभाषा से जाना जाता है decartova सेट के काम करता है इसने एक ही सेट के तत्वों से सेट का आदेश नहीं दिया है। यही है, हमारे उदाहरण में ग्रीक अक्षरों को ग्रीक और लैटिन के साथ लैटिन के साथ कनेक्ट करना असंभव है। यह तथ्य के रूप में प्रदर्शित किया जाता है bobber ग्राफ , यानी, यह जिसमें शिखर दो भागों में अलग हो जाते हैं ताकि एक ही हिस्से से संबंधित शिखर जुड़े हुए न हों। हमें निम्नलिखित ग्राफ मिलता है:

उदाहरण 4। रियल एस्टेट एजेंसी इगोर, सर्गेई और पीटर प्रबंधकों को रोजगार देती है। O1, O2, O3, O4, O5, O6, O7, O8 सर्विसेज हैं। रिश्तों को प्रदर्शित करने के लिए एक ग्राफ बनाएं "ओ 4 के साथ काम करता है, ओ 7", "सर्गेई ओ 1, ओ 2, ओ 3, ओ 5, ओ 6 के साथ काम करता है," पीटर ओ 8 ऑब्जेक्ट के साथ काम करता है।

फेसला। रिलेशनशिप डेटा प्रदर्शित करने वाला ग्राफ भी पाचन रूप से होगा, क्योंकि प्रबंधक प्रबंधक के साथ काम नहीं करता है और ऑब्जेक्ट ऑब्जेक्ट के साथ काम नहीं करता है। हालांकि, पिछले उदाहरण के विपरीत, ग्राफ उन्मुख हो जाएगा। वास्तव में, उदाहरण के लिए, इगोर एक ओ 4 ऑब्जेक्ट के साथ काम करता है, लेकिन आईजीओआर के साथ ओ 4 ऑब्जेक्ट काम नहीं करता है। अक्सर, जब संबंधों की एक संपत्ति स्पष्ट होती है, तो दिशा में रेफरी देने की आवश्यकता "गणितीय मूर्खता" प्रतीत हो सकती है। लेकिन फिर भी, और यह गणित की सख्त प्रकृति से आता है, अगर रवैया एक तरफा प्रकृति है, तो रुब्राम को निर्देश देने के लिए। रिश्ते के अनुप्रयोगों में, यह गंभीरता का भुगतान करता है, उदाहरण के लिए, योजना के लिए इरादे वाले कार्यक्रमों में, जहां ग्राफ भी लागू होते हैं और शिखर पर रूट करते हैं और रूबर निर्दिष्ट दिशा में सख्ती से गुजरना चाहिए। तो, हम अगले उन्मुख बोलेटिक ग्राफ प्राप्त करते हैं:

और फिर से संख्याओं के साथ उदाहरण।

उदाहरण 5। सेट सेट करें सी। = {2, 3, 5, 6, 15, 18} । एक ग्राफ बनाएं जो संबंधों को लागू करता है जो संख्याओं के सभी जोड़े को परिभाषित करता है ए। तथा बी सेट से सी।जो एक निजी प्राप्त करने वाले दूसरे तत्व के विभाजन में, जो 1 से अधिक पूर्णांक है।

फेसला। रिश्ते डेटा प्रदर्शित करने वाला ग्राफ उन्मुख हो जाएगा, क्योंकि इस स्थिति में दूसरे और पहले तत्व का उल्लेख है, यानी, किनारे को पहले तत्व से दूसरे में निर्देशित किया जाएगा। यह निश्चित रूप से स्पष्ट है कि तत्व कलम है और जो दूसरा है। मैं शब्दावली जोड़ दूंगा: ओरिएंटेड पसलियों को कॉल करने के लिए प्रथागत है। हमारे कॉलम में 7 आर्क होंगे: इ।1 = (3, 15) , इ।2 = (3, 18) , इ।3 = (5, 15) , इ।4 = (3, 6) , इ।5 = (2, 18) , इ।6 = (6, 18) , इ।7 = (2, 6) । इस उदाहरण में, ग्राफ के किनारों (आर्क्स) को बस गिना जाता है, लेकिन क्रमिक संख्या केवल एक चीज नहीं है जिसे आर्क के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। आर्क को तराजू का अर्थ भी जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर शिपिंग की लागत। लेकिन आर्क के वजन के साथ हम बाद में और अधिक परिचित हो जाएंगे। तो, हमें निम्नलिखित उन्मुख ग्राफ मिलता है:

जैसा कि हम पहले से ही सैद्धांतिक प्रारंभिक भाग से जानते हैं, ग्राफ का सिद्धांत सेट की विशिष्ट प्रकृति को ध्यान में नहीं रखता है और एक ही ग्राफ की सहायता से, आप विभिन्न प्रकार की सामग्री के साथ सेट पर संबंध निर्धारित कर सकते हैं। यह है कि, इस तरह की सामग्री से जब कार्य को मॉडलिंग किया जा सकता है। आइए ग्राफ के सिद्धांत की इस अद्भुत संपत्ति को चित्रित करने वाले उदाहरणों को चालू करें।

उदाहरण 6। 3 x 3 के शतरंज के एक टुकड़े पर, दो सफेद घोड़ों और दो काले घोड़ों को नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है।

क्या घोड़ों को निम्नलिखित आकृति में दिखाए गए राज्य में स्थानांतरित करना संभव है, यह नहीं भूलना कि दो आंकड़े एक ही सेल पर नहीं हो सकते हैं?

फेसला। निर्माण स्तंभ में, चौकियों को घोड़े के कदम के अनुपात से जोड़ा जाएगा। यही है, एक शीर्ष वह है, जिसमें से घोड़ा छोड़ दिया गया है, और दूसरा, जिसमें वह आया था, और "जी" पत्र का मध्यवर्ती सेल इस रिश्ते के बाहर होगा। हमें निम्नलिखित ग्राफ मिलता है:

और फिर भी डिजाइन बोझिल हो गया। शतरंज की कोशिकाएं इसमें दिखाई दे रही हैं, और ग्राफ के कई किनारों को छेड़छाड़ की जाती है। क्या भौतिक प्रकार के शतरंज के तट से सार करना संभव है और रिश्तों की कल्पना करना आसान है? यह पता चला है, यह संभव है। नए कॉलम में, पड़ोसी शिखर घोड़े के अनुपात से संबंधित होंगे, न कि पड़ोसी शतरंज (नीचे चित्रकारी)।

अब यह देखना आसान है कि इस कार्य के सवाल का जवाब नकारात्मक है। शुरुआती स्थिति में दो सफेद घोड़ों के बीच कोई काला घोड़ा नहीं है, और आखिरकार यह काला घोड़ा होना चाहिए। ग्राफ के किनारे को रखा गया है ताकि दो पास के घोड़े एक-दूसरे पर कूद न सकें।

उदाहरण 7। भेड़िया, बकरी और गोभी का कार्य। नदी के एक बैंक पर एक व्यक्ति (एच), नाव, भेड़िया (सी), बकरी (केज) और गोभी (केपी) हैं। एक ही समय में नाव एक व्यक्ति हो सकती है और परिवहन की गई वस्तुओं में से एक से अधिक नहीं हो सकती है। एक व्यक्ति को अन्य वस्तुओं को अन्य कॉलैंड में ले जाना चाहिए, इस स्थिति को देखते हुए: गोद और बकरी के साथ गोआट के साथ एक भेड़िया को छोड़ना असंभव है।

फेसला। निर्माण शिखर सम्मेलन में - विन्यास, और रोब्रा कॉन्फ़िगरेशन के बीच "एक बूट के संचार" का अनुपात है। कॉन्फ़िगरेशन का अर्थ प्रारंभिक किनारे पर और विपरीत किनारे पर वस्तुओं का स्थान है। प्रत्येक विन्यास फॉर्म में प्रदर्शित होता है ( ए।|बी), कहां है ए। - प्रारंभिक किनारे पर स्थित वस्तुएं, और बी - विपरीत किनारे पर स्थित वस्तुएं। प्रारंभिक विन्यास, इसलिए - (Chvkpkz| ) । उदाहरण के लिए, अन्य बकरी के पार करने के बाद, विन्यास होगा (वीकेपी|चाक्ज) । अंतिम विन्यास हमेशा होता है ( |Chvkpkz) । अब हम एक ग्राफ बना सकते हैं, पहले से ही जानना, जिसका अर्थ है चोटी और पसलियों:

ग्राफ के शिखर को रखें ताकि पसलियों को छेड़छाड़ न हो, और अगले चोटियों जो कॉलम पर अनुपात से जुड़े हों। फिर रिश्ते को बहुत आसान होगा (ड्राइंग को बढ़ाने के लिए, बाएं माउस बटन के साथ उस पर क्लिक करें):

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रारंभिक विन्यास से अंतिम तक दो अलग-अलग मार्ग हैं। इसलिए, कार्य में दो अलग-अलग समाधान होते हैं (और दोनों सही हैं)।

गिनती सिद्धांत और आवश्यक आधुनिक लागू कार्य

ग्राफ के सिद्धांत के आधार पर, लागू कार्यों को हल करने के तरीकों को विकसित किया गया था, जिसमें अत्यधिक जटिल प्रणालियों को ग्राफ के रूप में अनुकरण किया जाता है। इन मॉडलों में, नोड्स में व्यक्तिगत घटक होते हैं, और पसलियां घटकों के बीच लिंक प्रदर्शित करती हैं। आम तौर पर परिवहन नेटवर्क, बड़े पैमाने पर रखरखाव प्रणाली, भारित ग्राफ के लिए नेटवर्क योजना में उपयोग किया जाता है। हमने पहले ही उनके बारे में बात की है, ये ग्राफ हैं जिनमें आर्क्स को स्केल असाइन किया जाता है।

ग्राफ के पेड़ों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, निर्माण करने के लिए पेड़ों का निर्णय (जोखिमों का विश्लेषण करने, संभावित अधिग्रहण के विश्लेषण और अनिश्चितता स्थितियों में घाटे का विश्लेषण करने के लिए)। ग्राफ सिद्धांत के उपयोग के साथ, विकसित और अन्य कई गणितीय मॉडल विशिष्ट विषय क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए।

धागे के बारे में गिना जाता है और कार्य

समस्या का निर्माण। नीचे दिए गए आंकड़े में ग्राफ द्वारा प्रतिनिधित्व एक पानी पाइप प्रणाली है।

प्रत्येक आर्क ग्राफ पाइप प्रदर्शित करता है। आर्क्स (तराजू) पर संख्या - पाइप की बैंडविड्थ। नोड्स - पाइप कनेक्शन के स्थान। पानी केवल एक दिशा में पाइप के माध्यम से बहता है। गांठ एस - जल स्रोत, गाँठ टी - भण्डार। स्रोत से नाली तक बहने वाले पानी की मात्रा को अधिकतम करने के लिए आवश्यक है।

प्रवाह चुनौतियों को हल करने के लिए, आप फोर्ड फुल्कर्सन विधि का उपयोग कर सकते हैं। विधि का विचार: अधिकतम धारा की खोज चरणों में बनाई गई है। ऑपरेशन की शुरुआत में, स्ट्रीम एल्गोरिदम शून्य के बराबर निर्भर करता है। प्रत्येक बाद के चरण में, प्रवाह मूल्य बढ़ता है, जिसके लिए पूरक पथ खोजा जाता है जिसके लिए एक अतिरिक्त प्रवाह आता है। अतिरिक्त पथ होने तक ये चरण दोहराए जाते हैं। कार्य विभिन्न वितरित सिस्टम में सफलतापूर्वक लागू किया जाता है: बिजली आपूर्ति प्रणाली, संचार नेटवर्क, रेलवे प्रणाली और अन्य।

ग्राफ और नेटवर्क योजना

विभिन्न प्रकार के कार्यों से जुड़ी जटिल प्रक्रियाओं की योजना बनाने के कार्यों में, जिनमें से कुछ समानांतर में किए जाते हैं, और अनुक्रमिक रूप से, भारित ग्राफ, जिसे पर्थ नेटवर्क (पीआरटी) के रूप में जाना जाता है, व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था।

PERT - प्रोग्राम (प्रोजेक्ट) मूल्यांकन और समीक्षा तकनीक - कार्यक्रमों (परियोजनाओं) का आकलन और विश्लेषण करने के लिए उपकरण, जो परियोजनाओं के प्रबंधन के दौरान उपयोग किया जाता है।

पर्थ एक भारित acyclic उन्मुख ग्राफ है जिसमें प्रत्येक आर्क काम (कार्रवाई, संचालन) का प्रतिनिधित्व करता है, और चाप का वजन इसके निष्पादन के लिए आवश्यक समय है।

यदि नेटवर्क में आर्क्स हैं ( ए।, बी) तथा ( बी, सी।), तो आर्क द्वारा प्रस्तुत कार्य ( ए।, बी), आर्क द्वारा प्रदान किए गए कार्य की शुरुआत से पहले पूरा किया जाना चाहिए ( बी, सी।)। प्रत्येक चरम ( वीमैं) उस समय का प्रतिनिधित्व करता है जिसके लिए शीर्ष में संपन्न आर्क द्वारा निर्दिष्ट सभी कार्यों ( वीमैं).

ऐसे कॉलम में:

• एक वर्टेक्स जिसमें पूर्ववर्ती नहीं हैं, वे काम के काम की शुरुआत के समय निर्धारित करते हैं;
• एक वर्टेक्स जिसमें अनुयायी नहीं होते हैं, काम के परिसर के पूरा होने के समय से मेल खाते हैं।

ग्राफ के इन शिखर (शुरुआत से कार्य प्रक्रिया के अंत तक) के बीच अधिकतम लंबाई का मार्ग, महत्वपूर्ण तरीका कहा जाता है। काम के पूरे परिसर के निष्पादन के समय को कम करने के लिए, महत्वपूर्ण पथ के तहत काम ढूंढना आवश्यक है, और उनकी अवधि को कम करने के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, अतिरिक्त कलाकारों, तंत्र, नई प्रौद्योगिकियों को आकर्षित करना।

पूरे ब्लॉक "ग्राफ का सिद्धांत"

ग्राफ की अवधारणा को कई कार्यों को अलग करने के बाद प्रवेश करने की सलाह दी जाती है, जैसे कार्य 1, निर्णायक विचार जिसमें एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व होता है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्रों को तुरंत एहसास हो कि एक ही ग्राफ को विभिन्न तरीकों से खींचा जा सकता है। ग्राफ की सख्त परिभाषा, मेरी राय में, आवश्यक नहीं, क्योंकि यह बहुत बोझिल है और यह केवल चर्चा करना मुश्किल बनाता है। सबसे पहले, सहज अवधारणा पर्याप्त है। आइसोमोर्फिज्म की अवधारणा पर चर्चा करते समय, कई अभ्यासों को आइसोमोर्फिक और गैर-शरीर के ग्राफ के निर्धारण पर हल किया जा सकता है। विषय के केंद्रीय बिंदुओं में से एक विषम शिखर की संख्या के समानता प्रमेय की संख्या है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र अपने प्रमाण में पूरी तरह से समझ गए हैं और समस्याओं को हल करने के लिए आवेदन करना सीखा है। कई कार्यों को पार्स करते समय, मैं प्रमेय का जिक्र नहीं करने की सलाह देता हूं, और वास्तव में इसके प्रमाण को दोहराता हूं। ग्राफ की संपार्श्विक की अवधारणा भी बेहद महत्वपूर्ण है। यहां सार्थक विचार कनेक्टिविटी के घटक का विचार है, इस पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है। यूलर ग्राफ - विषय लगभग गेमिंग है।

ग्राफ का अध्ययन करते समय पहला और मुख्य लक्ष्य, स्कूल के बच्चे का अध्ययन करने के लिए, समस्या की स्थिति में ग्राफ को देखने के लिए स्कूल के बच्चे का अध्ययन करने के लिए और सामान्य रूप से स्थिति को ग्राफ सिद्धांत की भाषा में अनुवादित करें। एक पंक्ति में कई गतिविधियों में सभी से बात न करें। 2-3 स्कूलों के लिए समय में कक्षाओं को प्रसारित करना बेहतर है। (कक्षाओं का विकास "ग्राफ की अवधारणा संलग्न है। ग्रेड 6 में समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफ का आवेदन)।

2. विषय "ग्राफ" के लिए सैद्धांतिक सामग्री।

परिचय

ग्राफ अद्भुत गणितीय वस्तुएं हैं, उनकी सहायता के साथ आप एक अन्य कार्यों के समान, बाहरी रूप से समान रूप से हल कर सकते हैं। गणित में, एक संपूर्ण खंड है - ग्राफ का सिद्धांत, जो ग्राफ, उनके गुण और अनुप्रयोग का अध्ययन करता है। हम केवल सबसे बुनियादी अवधारणाओं, ग्राफ के गुणों और समस्याओं को हल करने के कुछ तरीकों पर चर्चा करेंगे।

ग्राफ की अवधारणा

दो कार्यों पर विचार करें।

कार्य 1। सौर मंडल के नौ ग्रहों के बीच एक अंतरिक्ष संदेश स्थापित किया। फ्लाइट रॉकेट निम्नलिखित मार्गों पर उड़ते हैं: पृथ्वी - बुध; प्लूटो - शुक्र; पृथ्वी - प्लूटो; प्लूटो - बुध; बुध - वियना; यूरेनस - नेप्च्यून; नेप्च्यून - शनि; शनि - बृहस्पति; बृहस्पति - मंगल और मंगल - यूरेनस। क्या जमीन से मंगल तक उड़ान रॉकेट पर उड़ान भरना संभव है?

फेसला: एक योजना की स्थिति बनाएं: ग्रह अंक के साथ होंगे, और रॉकेट रॉकेट लाइनें हैं।

अब यह तुरंत स्पष्ट है कि जमीन से मंगल तक उड़ान भरना असंभव है।

कार्य 2। बोर्ड में डबल क्रॉस का रूप होता है, जो कि कोने कोशिकाओं को वर्ग 4x4 से हटा दिया जाता है।

क्या यह एक शतरंज के घोड़े के साथ इसे बाईपास करना और मूल कोशिका पर वापस जाना संभव है, ठीक उसी समय सभी कोशिकाओं का दौरा किया है?

फेसला: लगातार ब्लैकबोर्ड कोशिकाओं का परिचय:

और अब ड्राइंग की मदद से, हम दिखाते हैं कि इस तरह की मेज की एक ट्रैवर्स, जैसा कि स्थिति में दर्शाया गया है, यह संभव है:

हमने दो कार्यों के विपरीत देखा। हालांकि, इन दो कार्यों के समाधान समग्र विचार को एकजुट करते हैं - समाधान का एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व। साथ ही, प्रत्येक कार्य के लिए खींची गई तस्वीरें समान थीं: प्रत्येक तस्वीर कुछ बिंदु है, जिनमें से कुछ लाइनों से जुड़े हुए हैं।

ऐसी तस्वीरें कहा जाता है ग्राफामी। कोंट्स कहा जाता है रक्षात्मकऔर लाइनें - पसलियां ग्राफ। ध्यान दें कि इस प्रकार की प्रत्येक तस्वीर को ग्राफ नहीं कहा जाएगा। उदाहरण के लिए। यदि आपको नोटबुक में एक पेंटागन खींचने के लिए कहा जाता है, तो ऐसा चित्र ग्राफ नहीं होगा। हम इस प्रजाति के चित्र को कॉल करेंगे, जैसा कि पिछले कार्यों में, ग्राफ, यदि कोई विशेष कार्य है जिसके लिए ऐसी तस्वीर बनाई गई है।

एक और टिप्पणी ग्राफ के प्रकार की चिंता करती है। यह सत्यापित करने का प्रयास करें कि एक ही कार्य के लिए ग्राफ को विभिन्न तरीकों से खींचा जा सकता है; इसके विपरीत विभिन्न कार्यों के लिए आप एक ही ग्राफ खींच सकते हैं। यह यहां महत्वपूर्ण है कि केवल एक दूसरे से कौन सी शिखर जुड़े हुए हैं, और जो नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कार्य 1 के लिए ग्राफ को अलग-अलग खींचा जा सकता है:

ऐसा ही, लेकिन अलग-अलग खींचे गए ग्राफ को बुलाया जाता है आइसोमोर्फिक.

कोने की डिग्री और ग्राफ के किनारों की संख्या की गिनती

हम एक और परिभाषा लिखते हैं: ग्राफ के शीर्ष की डिग्री को इससे किनारों की संख्या कहा जाता है। इस संबंध में, एक डिग्री रखने वाले वर्टेक्स को क्रमशः एक वर्टेक्स कहा जाता है, एक विषम डिग्री वाले एक कशेरुक को एक विषम वर्टेक्स कहा जाता है।

ग्राफ के सिद्धांत के मुख्य प्रमेय में से एक कोने की डिग्री, विषम शिखर की संख्या की अखंडता की अखंडता से जुड़ा हुआ है। हम इसे थोड़ी देर बाद साबित करेंगे, लेकिन पहले चित्रण के लिए कार्य पर विचार करें।

कार्य 3। छोटे 15 फोन के शहर में। क्या उन्हें तारों से जोड़ना संभव है ताकि प्रत्येक फोन बिल्कुल पांच अन्य लोगों के साथ जुड़ा हो?

फेसला: मान लीजिए कि फोन कनेक्ट करना संभव है। फिर उस ग्राफ की कल्पना करें जिसमें चोटियां फोन को इंगित करती हैं, और पसलियों को तारों से जोड़ते हैं। हम गणना करते हैं कि तार कितने दूर हो जाएंगे। प्रत्येक टेलीफोन से बिल्कुल 5 तार जुड़े हुए हैं, यानी हमारे ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष की डिग्री - 5. तारों की संख्या खोजने के लिए, आपको ग्राफ के सभी शिखर की डिग्री को समेटने की आवश्यकता है और परिणामी परिणाम 2 से विभाजित है (क्योंकि प्रत्येक तार में दो सिर होते हैं, फिर जब डिग्री सारांशित होती है, तो प्रत्येक तार 2 लिया जाएगा समय)। लेकिन फिर तारों की संख्या अलग होगी। लेकिन यह संख्या पूरी नहीं है। इसका मतलब है कि हमारी धारणा है कि आप हर फोन को बिल्कुल पांच अन्य लोगों से जोड़ सकते हैं, गलत साबित हुए।

उत्तर। कनेक्ट फोन इस प्रकार असंभव है।

प्रमेय: किसी भी ग्राफ में विषम शिखर की संख्या भी होती है।

साक्ष्य: ग्राफ के किनारों की संख्या अपने शिखर की डिग्री की आधा राशि के बराबर होती है। चूंकि किनारों की संख्या एक पूर्णांक होना चाहिए, फिर शिखर की डिग्री का योग भी होना चाहिए। और यह केवल तभी संभव है जब ग्राफ में विषम शिखर की संख्या भी हो।

परिपत्र जुड़ा हुआ

ग्राफ से संबंधित एक और महत्वपूर्ण अवधारणा है - जुड़े की अवधारणा।

गिनती कहा जाता है जुड़े हुएयदि कोई दो टॉप कनेक्ट किया जा सकता है मार्गवे। पसलियों का निरंतर अनुक्रम। ऐसे कई कार्य हैं जिनका समाधान ग्राफ की कनेक्टिविटी की अवधारणा पर आधारित है।

कार्य 4। देश में, सात में से सात शहर, प्रत्येक शहर कम से कम सात अन्य लोगों के साथ सड़कों से जुड़ा हुआ है। साबित करें कि प्रत्येक शहर से किसी अन्य को पाने के लिए फैशनेबल है।

सबूत: दो मनमानी ए और शहर में विचार करें और मान लें कि उनके बीच कोई रास्ता नहीं है। उनमें से प्रत्येक कम से कम सात अन्य के साथ जुड़ा हुआ है, और ऐसा कोई ऐसा शहर नहीं है जो दोनों शहरों से प्रश्नों से जुड़ा होगा (अन्यथा बी में से एक रास्ता होगा)। इन शहरों के अनुरूप ग्राफ का एक हिस्सा बनाएं:

अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि हमें कम से कम अलग 16 शहरों को प्राप्त हुआ, जो समस्या की स्थिति का खंडन करता है। तो अनुमोदन बुरा से साबित हुआ है।

यदि आप पिछली परिभाषा को ध्यान में रखते हैं, तो कार्य की मंजूरी को सुधार और अलग-अलग किया जा सकता है: "साबित करें कि देश देश देश सात जुड़ा हुआ है।"

अब आप जानते हैं कि एक जुड़ा ग्राफ कैसा दिखता है। डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ में कई "टुकड़े" की उपस्थिति है, जिनमें से प्रत्येक या तो पसलियों के बिना एक अलग वर्टेक्स है, या एक जुड़ा ग्राफ है। चित्र में आपके द्वारा देखे गए असंगत ग्राफ का एक उदाहरण:

हर एक अलग टुकड़ा कहा जाता है घटक कनेक्टिविटी ग्राफ।कनेक्टिविटी का प्रत्येक घटक एक कनेक्टेड ग्राफ है और इसके सभी बयान जो हमने जुड़े ग्राफ के लिए साबित किया है, वे किए जाते हैं। उस कार्य का एक उदाहरण मानें जहां कनेक्टेड घटक का उपयोग किया जाता है:

कार्य 5।. पुल किंगडम में, केवल एक प्रकार का परिवहन एक कालीन विमान है। राजधानी से 21 कालीन, दल्नो शहर से, एक, और अन्य सभी शहरों से - 20 तक। साबित करें कि राजधानी से आप दूर तक जा सकते हैं।

साक्ष्य: यह स्पष्ट है कि यदि आप राज्य के राज्य का ग्राफ खींचते हैं, तो यह असंगत हो सकता है। कनेक्टिविटी के घटक पर विचार करें, जिसमें राज्य की राजधानी शामिल है। राजधानी, 21 कालीन से, और किसी भी अन्य शहरों से, 20 तक के शहर के अलावा, ताकि एक भी विषम शिखर पर कानून आवश्यक हो, ताकि दूर का शहर कनेक्टिविटी के एक ही घटक में प्रवेश कर सके। और चूंकि कनेक्टिवेंस का घटक एक जुड़ा ग्राफ है, फिर राजधानी से दूर शहर में कालीनियों पर एक रास्ता है, जिसे साबित करने की आवश्यकता थी।

एइलेरा ग्राफ

आपको शायद उन कार्यों का सामना करना पड़ता है जिनमें आप पेपर से पेंसिल लेने और केवल एक बार प्रत्येक पंक्ति खर्च करने के बिना किसी भी आंकड़े को आकर्षित करना चाहते हैं। यह पता चला है कि ऐसा कार्य हमेशा हल करने योग्य नहीं है, यानी ऐसे आंकड़े हैं जो निर्दिष्ट तरीके से तैयार नहीं किए जा सकते हैं। इस तरह के कार्यों की हलनीयता का मुद्दा ग्राफ के सिद्धांत में भी शामिल है। पहली बार उन्होंने 1736 में अध्ययन किया, महान जर्मन गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर, कोनिग्सबर्ग पुलों के कार्य को हल करते हुए। इसलिए, निर्दिष्ट विधि में खींचे गए ग्राफ को यूलर ग्राफ कहा जाता है।

कार्य 6। क्या पेपर से पेंसिल लेने और प्रत्येक किनारे को बिल्कुल एक बार खर्च किए बिना चित्र में दिखाए गए ग्राफ को आकर्षित करना संभव है?

फेसला। यदि हम एक ग्राफ तैयार करते हैं क्योंकि यह स्थिति में कहा गया है, फिर प्रत्येक शीर्षक में, प्रारंभिक और अंतिम को छोड़कर, हम एक ही समय में प्रवेश करेंगे क्योंकि हम इससे बाहर आते हैं। यही है, दोनों के अलावा ग्राफ के सभी शिखर भी होना चाहिए। हमारे ग्राफ में तीन विषम चोटियों हैं, इसलिए इसे स्थिति में निर्दिष्ट विधि द्वारा नहीं खींचा जा सकता है।

अब हमने यूलर ग्राफ के बारे में प्रमेय साबित कर दिया है:

प्रमेय: एलेलास गिनती में दो विषम वरत्तों से अधिक नहीं होना चाहिए।

और निष्कर्ष में - कोनिग्सबर्ग पुलों का कार्य।

कार्य 7। यह आंकड़ा कोएनग्सबर्ग शहर के पुलों की योजना दिखाता है।

क्या प्रत्येक पुल पर 1 बार चलने के लिए चलना संभव है?

3. विषय "ग्राफ" के लिए कार्य

ग्राफ की अवधारणा।

1. स्क्वायर बोर्ड पर 3x3 4 घोड़ों को चित्र 1 में दिखाया गया है। क्या मैं घोड़ों के साथ कई स्ट्रोक बना सकता हूं, उन्हें चित्र 2 में दिखाए गए स्थान पर पुनर्व्यवस्थित कर सकता हूं?

अंजीर। एक

अंजीर। 2।

फेसला। चित्रा में दिखाए गए अनुसार बोर्ड की कोशिकाओं का परिचय दें:

प्रत्येक सेल को विमान के बिंदु के अनुसार रखा जाता है और यदि एक ही सेल से, आप शतरंज के घोड़े के दूसरे स्ट्रोक में जा सकते हैं, फिर लाइन के अनुरूप बिंदु। प्रारंभिक और आवश्यक घोड़ों को चित्रों में दिखाया गया है:

स्ट्रोक के किसी भी अनुक्रम के साथ, उनके अनुसरण का क्रम स्पष्ट रूप से नहीं हो सकता है। इसलिए, घोड़ों को पुनर्व्यवस्थित करना असंभव है।

2. देश संख्या में नाम 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 के साथ 9 शहर हैं। यात्री ने पाया कि दो शहरों में एयरलाइंस द्वारा जुड़े हुए हैं और केवल दो अंकों की संख्या नाम शहरों द्वारा गठित, 3 से विभाजित 3. क्या शहर 1 से शहर से 9 बजे तक उड़ान भरना संभव है?

फेसला। प्रत्येक शहर के बिंदु के अनुसार और लाइन की रेखा को जोड़ने के अनुसार, यदि संख्याओं की संख्या 3 में विभाजित है, तो हम उस ग्राफ को प्राप्त करते हैं जिसमें संख्या 3, 5, 9 एक दूसरे से जुड़े हुए हैं, लेकिन बाकी से जुड़े नहीं हैं। तो शहर 1 से शहर से फ्लाई नहीं कर सकता है।

कोने की डिग्री और पसलियों की संख्या की गिनती।

3. प्रत्येक शहर के 100 शहरों की स्थिति में 4 सड़कों हैं। राज्य में कितनी सड़कों।

फेसला। सड़कों को देखकर सड़कों की कुल संख्या की गणना करें - 100 . 4 \u003d 400. हालांकि, इस तरह की गणना के साथ, प्रत्येक सड़क को 2 बार गिना जाता है - यह एक शहर से बाहर आता है और दूसरे में प्रवेश करता है। तो सभी तरीके छोटे के रूप में दो बार हैं, यानी 200।

4. कक्षा 30 लोगों में। क्या यह हो सकता है कि 9 लोगों के पास 3 दोस्त हैं, 11 - 4 प्रत्येक, और 10 - 5 दोस्त हैं?

उत्तर। नहीं (विषम शिखर की संख्या का समानता प्रमेय)।

5. राजा 19 Vassalov। क्या यह हो सकता है कि हर वासल में 1, 5 या 9 पड़ोसी हैं?

उत्तर। नहीं, वह नहीं कर सकता।

6. क्या राज्य में बिल्कुल 3 महंगा हो सकता है जिसमें प्रत्येक शहर प्रत्येक शहर से आता है?

फेसला। शहरों की संख्या की गणना करें। सड़कों की संख्या शहरों की संख्या के बराबर है x द्वारा गुणा किया गया है (प्रत्येक शहर को देखकर सड़कों की संख्या) और 2 से विभाजित (कार्य 3 देखें)। फिर 100 \u003d зх / 2 \u003d\u003e зх \u003d 200, जो प्राकृतिक एक्स पर नहीं हो सकता है। ऐसे राज्य में 100 सड़कें नहीं हो सकती हैं।

7. साबित करें कि पृथ्वी पर कभी भी रहने वाले लोगों की संख्या और एक अजीब संख्या हैंडशेक भी बनाई गई।

सबूत ग्राफ के विषम शिखर की संख्या के समानता प्रमेय की संख्या से तुरंत निम्नानुसार आता है।

कनेक्टिविटी।

8. प्रत्येक शहर से देश में 100 सड़कें होती हैं और प्रत्येक शहर से किसी भी अन्य तक पहुंचा जा सकता है। मरम्मत के लिए एक सड़क बंद थी। साबित करें कि अब किसी भी शहर से किसी भी अन्य तक पहुंचा जा सकता है।

सबूत। कनेक्टिविटी के घटक पर विचार करें, जिसमें शहरों में से एक शामिल है, जिसके बीच सड़क बंद थी। समानता प्रमेय के अनुसार, विषम शिखरों की संख्या में दूसरा शहर शामिल है। तो, आप अभी भी एक मार्ग पा सकते हैं और इन शहरों में से एक से दूसरे में प्राप्त कर सकते हैं।

यूलर ग्राफ।

9. पुलों से जुड़े द्वीपों का एक समूह है ताकि प्रत्येक द्वीप से किसी अन्य तक पहुंचा जा सके। पर्यटक प्रत्येक गुलाब पुल 1 बार पारित होने के बाद सभी द्वीपों को छोड़ दिया। Troektnaya द्वीप पर, वह तीन बार दौरा किया। एक ट्रिपल के साथ कितने पुलों की ओर जाता है, अगर पर्यटक

ए) उसके साथ शुरू नहीं हुआ और इसे खत्म नहीं किया?
बी) उसने शुरू किया, लेकिन इसे खत्म नहीं किया?
ग) वह शुरू हुआ और उस पर समाप्त हो गया?

10. यह आंकड़ा पार्क दिखाता है, बाड़ के कई हिस्सों में विभाजित है। क्या गुलाब के प्रत्येक बाड़ के माध्यम से चढ़ने के लिए पार्क और उसके आसपास के माध्यम से चलना संभव है?

एंजाइमेटिक प्रतिक्रिया दरों की दरों के उत्पादन में, कई सरल धारणाओं का उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, एक नियम के रूप में, यह माना जाता है कि एंजाइमेटिक प्रतिक्रिया सही मिश्रण, थर्मो- और पीएच-स्थैतिक परिस्थितियों की स्थितियों के तहत आगे बढ़ती है और प्रतिक्रिया में एक क्वासिस्टेशनरी राज्य बहुत जल्दी स्थापित होता है (धारा 2.1 देखें), जिसमें सभी मध्यवर्ती एंजाइम के रूप समेकित मित्र में हैं। उपसर्ग "अर्ध" का अर्थ है कि चर का केवल एक हिस्सा रोगी मूल्यों तक पहुंचता है, जबकि बाकी धीरे-धीरे बदलते रहते हैं। सांद्रता की उपलब्धि के बारे में धारणाओं का उपयोग (क्वासिस्टेशनरी मूल्यों की जैव रासायनिक प्रणाली साहित्य में बोडेनस्टीन विधि - सेमेनोव के रूप में जाना जाता है। यह विधि आपको रासायनिक प्रणालियों के विश्लेषण (जैव) को सरल बनाने की अनुमति देती है। सिस्टम को हल करने के बजाय नॉनलाइनर अंतर समीकरणों में, प्रतिक्रिया के दौरान मध्यवर्ती पदार्थों में परिवर्तन का वर्णन करते हुए, इस विधि के अनुसार केवल बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल कर सकते हैं जो एक दूसरे को बांधते हैं

क्वैसिस्टेशनरी इंटरमीडिएट सांद्रता। मुख्य कारण, जिसके कारण एंजाइमेटिक प्रतिक्रिया में एक क्वासिस्टेशनरी स्थिति स्थापित है, यह है कि एंजाइम की एकाग्रता आमतौर पर एंजाइम के साथ बातचीत करने वाले सबस्ट्रेट्स की सांद्रता की तुलना में कम परिमाण के कई आदेश होती है।

एक नियम के रूप में, एंजाइमेटिक प्रतिक्रियाओं के क्वासिस्टेशनरी राज्यों का वर्णन करने वाले बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियां रैखिक हैं, क्योंकि मध्यवर्ती रूपों और परिसरों के बीच पारस्परिक आसंजनों को मोनोमोल्यूलर प्रतिक्रियाओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए, रैखिक बीजगणित के तरीकों का उपयोग मध्यवर्ती पदार्थों की क्वासिस्टेशनरी सांद्रता निर्धारित करने के लिए किया जाता है। हाल के वर्षों में, ग्राफ के ग्राफ सिद्धांत के तरीके इस उद्देश्य के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए गए हैं।

एंजाइमेटिक प्रतिक्रिया ग्राफ को सभी एंजाइम परिसरों के अर्ध-स्थिर सांद्रता के अनुरूप नोड्स का संयोजन कहा जाता है और शाखा के परिमाण या संचरण की परिवर्तन दर के संदर्भ के संदर्भ के एक निश्चित मूल्य द्वारा विशेषता अपनी दिशात्मक शाखाओं को जोड़ता है, एक हो सकता है इस परिवर्तन में भाग लेने वाले गैर-स्वयंसेवी की एकाग्रता का कार्य। इस पदार्थ की एकाग्रता को क्वासिस्टेशनरी राज्य स्थिरता में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, एंजाइमेटिक प्रतिक्रिया

दो एंजाइम-सब्सट्रेट परिसरों के मध्यवर्ती गठन के माध्यम से थ्रॉचिंग

इसे ग्राफ की एक क्वासिस्टेशनरी स्थिति में दर्शाया जा सकता है, जिसमें तीन नोड्स और छह दिशात्मक शाखाएं हैं। ग्रेड (1.11) शाखाओं के मूल्यों को इंगित करता है; उनमें से दो क्वासिस्टेशनरी राज्य स्थिरता में विचार की गई सांद्रता पर निर्भर करते हैं।

नोड को निर्देशित ग्राफ का ग्राफ, को असेंबली की सभी असेंबली से नोड को निर्देशित शाखाओं का एक अनजान सेट कहा जाता है। पेड़ बंद या समानांतर अनुक्रम नहीं है। पेड़ के मूल्य को अपनी सभी शाखाओं के मूल्यों का उत्पाद कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ग्राफ़ नोड्स (1.11) में निम्न पेड़ हैं (उनके मान दिए गए हैं):

(स्कैन देखें)

चूंकि पेड़ ड्राइंग करते समय स्रोत ग्राफ में गणना के लिए आवश्यक सारी जानकारी होती है, यह आमतौर पर नोड्स के पदों और शाखाओं के मूल्यों का उपयोग नहीं करती है। इसके अलावा, जब एक निश्चित कौशल पहुंच जाता है, तो पेड़ों के मूल्यों को सीधे पेड़ों के बिना स्रोत ग्राफ पर निर्वहन किया जाता है।

सेट (पृष्ठ 24 पर) नोड पेड़ नहीं है क्योंकि यह शाखाओं (चक्र) का एक बंद अनुक्रम है, जिसमें कनेक्टिंग नोड्स की शाखाओं के दो समानांतर अनुक्रम होते हैं और इसमें नोड से नोड से निर्देशित शाखा का चक्र होता है नोड से जुड़ा नहीं है

नोड के मूल निर्धारक को डेटाबेस के उद्देश्य से सभी पेड़ों के मूल्यों की राशि कहा जाता है। ग्राफ के निर्धारक को सभी मूल ग्राफ पहचानकर्ताओं का योग कहा जाता है। उदाहरण के लिए, असेंबली और कॉलम (1.11) के निर्धारक पेड़ की निम्नलिखित मात्रा (1.12) हैं:

(स्कैन देखें)

और इस ग्राफ का निर्धारक तीन बुनियादी निर्धारकों के योग के बराबर है:

एंजाइमेटिक प्रतिक्रिया की प्रारंभिक क्वासिस्टेडिलेशनरी दर प्रतिक्रिया ग्राफ के निर्धारकों के माध्यम से निम्नानुसार व्यक्त की जाती है:

जहां नोड द्वारा बाध्यकारी गठन दर या उत्पाद की दर एंजाइम की पूरी एकाग्रता का एक मूल नोड निर्धारक है। रिवर्सिबल एजुकेशन के मामले में गणना करते समय, निम्नलिखित संकेत अनुबंध का उपयोग किया जाता है: यदि नोड उत्पाद को फेंकता है, और यदि नोड उत्पाद को जोड़ता है।

उदाहरण के लिए, सूत्र (1.14) द्वारा ग्राफ (1.11) के लिए, लिखें

संख्यात्मक में पहला शब्द सकारात्मक होता है, क्योंकि क्षय मुक्त होता है और दूसरा सदस्य नकारात्मक होता है, क्योंकि यह बांधता है

इंटरमीडिएट परिसरों की क्वैसिस्टेशन सांद्रता सूत्र में हैं

इस प्रकार, कॉलम (1.11) में, मुक्त एंजाइम और परिसरों की एकाग्रता अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित की जाती है।

उच्च पेशेवर शिक्षा के संघीय राज्य शैक्षिक संस्थान

"Mordovsky राज्य शैक्षिक संस्थान एमई के बाद नामित। Evsevieva "

भौतिकी और गणित के संकाय

सार

इस विषय पर:

"ग्राफ का सिद्धांत"

प्रदर्शन: छात्र

एमडीएम -109 समूह

Dobrinkina ओ.ए.

जाँच की गई: लैपिना यानी

सरन्सक 2014।

परिचय ................................................. ................................... 3।

1. ग्राफ सिद्धांत की मूल अवधारणाओं ........................................... ..... 4

2. रेखांकन के उदाहरण ............................................. ................................... आठ

3. यूलर कॉलम .............................................. ..................................... 13

4. ग्राफ सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरण .......................................... । सोलह

5. सबसे छोटे रास्ते का कार्य .......................................... ............... 18

6. अधिकतम धारा खोजने के लिए एल्गोरिदम .............................. 27

निष्कर्ष ................................................. ............................. 38।

संदर्भ ................................................. .................... 39

परिचय

हाल ही में, विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न उद्योगों में गणितीय तरीकों पर लगातार आक्रमण किया गया है। गणित को प्रभावित आर्थिक विज्ञान की प्रक्रिया।

एक ग्राफ की अवधारणा, खुद को बहुत सरल, विज्ञान में बहुत उपयोगी साबित हुई और अक्सर उपयोग की जाती है। ग्राफ का सिद्धांत ग्राफिक्स को सार गणितीय संरचनाओं के रूप में पढ़ रहा है, भले ही उनकी विशिष्ट व्याख्याओं के बावजूद, और प्राप्त कुल परिणाम तब सबसे अलग विषयों से जुड़े हुए हैं।

शब्द "गिनती" ने नागरिकता का अधिकार हासिल किया है और कोनिग के मोनोग्राफ तक पहुंचने के बाद, 1 9 36 में गणितीय भाषा में प्रवेश किया है, जिसमें, पहली बार, गिनती को उनकी सामग्री के बावजूद स्वतंत्र गणितीय वस्तुओं के रूप में अध्ययन किया जाता है।

ग्राफ का अध्ययन आज प्रासंगिक है। सबसे कम बाईपास पथ या निकटतम किराने की दुकान खोजें, इष्टतम मार्ग की योजना बनाएं - हमारे दैनिक जीवन से ये सभी उदाहरण। इन और कई अन्य कार्यों को ग्राफ के साथ हल किया जा सकता है।

यह पेपर कई बुनियादी अवधारणाओं, ग्राफ के सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरण प्रस्तुत करता है और ग्राफ के सिद्धांत के आधार पर आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए दो दृष्टिकोणों पर चर्चा करता है।

1. ग्राफ सिद्धांत की मूल अवधारणाएं

ग्राफ एक ऐसी प्रणाली है जो सहज रूप से कई मंडलियों और उनकी रेखाओं की बहुलता माना जाता है (चित्र 1)।

सर्कल को ग्राफ के शिखर कहा जाता है, तीर के साथ रेखा - आर्क, तीर के बिना - पसलियों। वह ग्राफ जिसमें रेखाओं की दिशा खड़ी नहीं होती है (सभी लाइनें पसलियां होती हैं), जिसे गैर-उन्मुख (चित्र 1, ए) कहा जाता है; ग्राफ़ जिसमें रेखाओं की दिशा मूल रूप से होती है (रेखाएं हैं) को ओरिएंटेड (चित्र 1, बी) कहा जाता है।

Ord। 1. अंतिम सेट दिया गया है। एक्स।को मिलाकर एन तत्व () X \u003d।{1, 2, ..., एन)), ग्राफ के शिखर, और एक्स × एक्स के वी डिकार्टियन कार्यों का एक उप-समूह, जो है
, जिसे एकाधिक चाप कहा जाता है, फिर उन्मुख ग्राफ जी को संयोजन (एक्स, वी) कहा जाता है।

Ord। 2. एक गैर उन्मुख ग्राफ को कई x और तत्वों के कई विकार वाले जोड़े का एक सेट कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक सेट एक्स से संबंधित है।

कोर्टिस I और J के बीच चाप,
, हम निरूपित करेंगे (मैं, जे)। आर्क ग्राफ की संख्या एम (वी \u003d (द्वारा दर्शाया जाएगा
)).

Ord। 3. उपशाफ ग्राफ का हिस्सा है, जो इस सेट से शिखर को जोड़ने वाली सभी पसलियों (आर्क) के साथ शिखरों के सबसेट द्वारा बनाई गई है। यदि ग्राफ से पसलियों (आर्क) का हिस्सा निकालें, तो हम एक आंशिक ग्राफ प्राप्त करते हैं।

Ord। 4. यदि वे एक किनारे (एआरसी) से जुड़े होते हैं तो दो शिखर को आसन्न कहा जाता है। संबंधित शिखर संबंधित किनारे (आर्क) के सीमा शिखर कहा जाता है, और यह एक एज (एआरसी) है - आकस्मिक रूप से उपयुक्त वर्टिस।

Opr.5। पथ को आर्क अनुक्रम (ओरिएंटेड कॉलम में) कहा जाता है, जैसे कि एक चाप का अंत एक और चाप की शुरुआत है।

Ord। 5.1। सरल तरीका वह मार्ग है जिसमें कोई आर्क दो बार नहीं होता है।

Ord। 5.2। प्राथमिक मार्ग वह मार्ग है जिसमें कोई शिखर दो बार नहीं पाया जाता है।

Ord। 5.3। समोच्च वह पथ है जो अंतिम वर्टेक्स प्रारंभिक वर्टेक्स के साथ मेल खाता है।

Ord। 5.4 पथ की लंबाई (समोच्च (समोच्च) को आर्क पथों की संख्या कहा जाता है (या उत्तरार्द्ध निर्दिष्ट होने पर, इसकी चाप लंबाई का योग)।

OPR.6। (I, j) से किसके लिए गिनती V निम्नानुसार (j, i) V को सममित कहा जाता है।

Ord। 7. अगर से (मैं, जे) V यह इस प्रकार है (j, i)
वी, तो इसी ग्राफ को एंटीमिमेट्रिक कहा जाता है।

Ord। 8.1। श्रृंखला को बहुत सारे किनारों (एक गैर उन्मुख स्तंभ में) कहा जाता है, जिसे रखा जा सकता है ताकि एक रिब की अंत (इस व्यवस्था में) दूसरे की शुरुआत हो।

Ord। 8.2। श्रृंखला आसन्न शिखर का एक अनुक्रम है।

Ord। 9. बंद सर्किट को एक चक्र कहा जाता है।

Ord। 10.1। एलिमेंट सर्किट (चक्र, पथ, समोच्च), ग्राफ के सभी शिखर से गुज़रने को एक हैमिल्टनियन श्रृंखला (क्रमशः, चक्र, पथ, समोच्च) कहा जाता है।

Ord। 10.2। ग्राफ के सभी किनारों (आर्क) युक्त एक साधारण श्रृंखला (चक्र, पथ, समोच्च) को एक यूलर श्रृंखला (क्रमशः - एक चक्र, पथ, समोच्च) कहा जाता है।

Ord। 11. यदि ग्राफ़ के किसी भी दो शिखर को एक श्रृंखला से जोड़ा जा सकता है, तो ग्राफ को कनेक्ट किया जाता है। यदि ग्राफ कनेक्ट नहीं है, तो इसे कनेक्टेड सबग्राफ में विभाजित किया जा सकता है, जिन्हें घटकों कहा जाता है।

Ord। 12. ग्राफ की सीमा न्यूनतम संख्या में किनारों की संख्या है, जिसके बाद ग्राफ को निष्कासन होता है। उन्मुख ग्राफ के लिए, यदि ग्राफ के किसी भी दो शिखर का मतलब साधनों से जोड़ा जा सकता है, तो ग्राफ को गंभीर रूप से जोड़ा जाता है। एक कनेक्टेड ग्राफ जिसमें एक चक्र यूलर होता है उसे एक यूलर ग्राफ कहा जाता है।

Ord। 13. एक गैर-उन्मुख ग्रेड में, वर्टेक्स की डिग्री मुझे संख्या कहा जाता है उसकी पसलियों के लिए घटनाएं। जाहिर है
। ग्राफ, जिनमें से सभी शिखर की डिग्री एन -1 है, को पूर्ण कहा जाता है। गिनती, जो के कोने के सभी डिग्री बराबर हैं, को सजातीय कहा जाता है।

Ord। 14. वर्टेक्स जिसके लिए कोई एज घटनाएं नहीं हैं ( \u003d 0) को अलग किया जाता है। वेरटेक्स जिसके लिए केवल एक किनारे की घटना होती है ( \u003d 1) फांसी कहा जाता है।

Ord। 15. हम एक वर्ग मैट्रिक्स एन × एन, तत्व के रूप में ग्राफ के सीवेज मैट्रिक्स को परिभाषित करते हैं जो एक के बराबर है अगर (i, j) V, और शून्य, अगर (i, j)
वी, मैं, जे एक्स। एक गैर उन्मुख ग्राफ के लिए, आसन्न मैट्रिक्स हमेशा सममित होता है।

Ord। 16. हम एक आयताकार मैट्रिक्स एन × एम, तत्व के रूप में ग्राफ के किनारों के लिए घटना मैट्रिक्स को परिभाषित करते हैं जो एक के बराबर है यदि कशेरुक मैं किनारे जे पर घटना है, और शून्य अन्यथा है, i \u003d 1, एन, जे \u003d 1, एम।

Ord। 17. ग्राफ के आर्क के लिए घटना मैट्रिक्स - आयताकार मैट्रिक्स एम एक्स एन, तत्व रिज जो पीस इकाई के बराबर है यदि चाप शीर्ष I से आता है, अगर चाप कशेरुक I में प्रवेश करता है, और अन्य मामलों में शून्य, i \u003d 1, n, j \u003d 1, m

Ord। 18. एक पेड़ साधारण चक्रों के बिना एक जुड़ा ग्राफ है, जिसमें कम से कम दो शिखर हैं। पेड़ एम \u003d एन - 1 के लिए, और लटकने वाले कोने की संख्या बराबर है
यह दिखाना आसान है कि पेड़ में किसी भी दो शिखर एकमात्र श्रृंखला से जुड़े हुए हैं।

Ord। 1 9. Pratraev को एक उन्मुख पेड़ कहा जाता है, जिसमें रूट कहा जाता है, जिसमें रूट को बुलाया नहीं है, और शेष शिखर की डिग्री एक के बराबर होती है।

Ord। 20. फ्लैट (प्लानर) को एक ग्राफ कहा जाता है जिसे विमान पर चित्रित किया जा सकता है ताकि विभिन्न मग विभिन्न शिखर के अनुरूप हो और दो पसलियों के पास उनकी सीमाओं के अलावा सामान्य अंक हैं (अंतर नहीं करते हैं)। एक फ्लैट ग्राफ के लिए, विमान के चेहरे की अवधारणा है, विमान के कुछ हिस्सों, पसलियों और शिखर से सीमित है जो अंदर नहीं हैं।

Ord। 21. चेहरे की डिग्री को इसकी सीमा पसलियों की संख्या कहा जाता है (फांसी पसलियों को दो बार माना जाता है)।

किसी भी जुड़े फ्लैट ग्राफ जी को दोहरी कनेक्टेड फ्लैट ग्राफ जी * के अनुपालन में रखा जा सकता है, जो निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: ग्राफ जी का प्रत्येक चेहरा ग्राफ जी * के शीर्ष के अनुरूप है, ग्राफ जी की प्रत्येक एज वी, जो सीमा है चेहरे Z1 और Z2 के लिए, EDGE v * ग्राफ़ जी * Z1 और Z2 शिखर के संबंधित अनाज को जोड़ने के अनुरूप है।

2. रेखांकन के उदाहरण

पूरी तरह से असंगत ग्राफ । गिनती, जिसमें कई पसलियों को खाली किया जाता है, बुलाया जाता है पूरी तरह से असंगत(या खाली) ग्राफ।हम एन एन के माध्यम से एन कोने के साथ एक पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ को इंगित करते हैं; N 4 अंजीर में दिखाया गया है। 1. ध्यान दें डब्ल्यूपूरी तरह से असंतुलित ग्राफ सभी शिखर अलग हैं। पूरी तरह से अनिर्णायक ग्राफ बहुत रुचि का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।

पूर्ण रेखांकन । सरल ग्राफ जिसमें कोई भी दो शिखर आसन्न हैं, कहा जाता है पूरा ग्राफ।एन कोर्टिस के साथ पूर्ण ग्राफ आमतौर पर अंकित किया जाता है । रेखांकन तथा अंजीर में चित्रित। 2 और 3। इसमें बिल्कुल एन (एन - 1) / 2 पसलियां हैं।

नियमित ग्राफ । गिनती, जिनके शिखर में एक ही डिग्री कहा जाता है नियमित ग्राफ।यदि प्रत्येक चरम की डिग्री आर के बराबर होती है, तो ग्राफ को कहा जाता है नियमित डिग्रीआर . डिग्री 3 के नियमित ग्राफ, भी कहा जाता है घन(या आभास)ग्राफ (उदाहरण के लिए, चित्र 2 और 4 देखें)। एक क्यूबिक ग्राफ का एक और प्रसिद्ध उदाहरण तथाकथित है ग्राफ पीटरसन,अंजीर में दिखाया गया। 5. ध्यान दें कि प्रत्येक पूरी तरह से डिस्कनेक्ट ग्राफ नियमित रूप से 0 है, और प्रत्येक पूर्ण ग्राफ एन नियमित डिग्री एन -1 है।

प्लैटोनिक ग्राफ । नियमित ग्राफ के बीच, ग्राफ की तथाकथित प्लेटोनिस्ट विशेष रूप से दिलचस्प हैं - पांच दाएं पॉलीहेड्रा - प्लेटोनिक निकायों की शिखर और पसलियों द्वारा गठित ग्राफ: टेट्राहेड्रा, क्यूब, ऑक्टाहेड्रॉन, डोडेकेहेड्रॉन और इकोसाहेड्रॉन। ग्राफ़ टेट्राहेड्रा (चित्र 2) से मेल खाता है; क्यूबा और ऑक्टाहेड्रा के अनुरूप गणना अंजीर में दिखाए जाते हैं। 5 और 6;

डबल रंग । मान लीजिए कि ग्राफ के शिखर के सेट को दो गैर-चक्र सबसेट वी 1 और वी 2 में विभाजित किया जा सकता है ताकि जी में प्रत्येक किनारे वी 1 (चित्र 7) के किसी भी शीर्ष के साथ वी 1 से कुछ शीर्षक को जोड़ सके;

तब फिर जी को एक dicapotic ग्राफ कहा जाता है। इस तरह के कॉलम कभी-कभी जी (वी 1, वी 2) द्वारा दर्शाए जाते हैं यदि वे दो निर्दिष्ट सबसेट को हाइलाइट करना चाहते हैं। दो-दिल वाले ग्राफ को अलग-अलग ढंग से निर्धारित किया जा सकता है - दो रंगों में अपने कोने को रंगने के मामले में, लाल और नीले रंग का कहना है। साथ ही, ग्राफ को ड्यूम कहा जाता है, यदि प्रत्येक वर्टेक्स को लाल या नीला रंग दिया जा सकता है ताकि किसी भी किनारे का एक लाल हो, और दूसरा नीला हो। यह जोर दिया जाना चाहिए कि एक बॉब्ड कॉलम में, वी 1 के प्रत्येक शीर्षक वी 2 के प्रत्येक शीर्षक से पूरी तरह से जुड़ा हुआ है; यदि यह ऐसा है और यदि ग्राफ़ जी सरल है, तो इसे कहा जाता है पूर्ण द्विपक्षीय ग्राफऔर आमतौर पर नामित

जहां मीटर, एन क्रमशः, v 1 और v 2 में क्रमशः शिखर की संख्या है। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 8 ग्राफ के 4, 3 को चित्रित किया गया है। नोट करें कि ग्राफ
इसमें बिल्कुल एम + एन शिखर और एमएन पसलियां हैं। पूर्ण द्विपक्षीय ग्राफ
स्टार ग्राफ कहा जाता है; अंजीर में। 9 स्टार ग्राफ दिखाता है
.

मूक ग्राफ । ग्राफ़ जुड़े हुए,यदि इसे दो ग्राफ के संयोजन के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, और असहनीयअन्यथा। जाहिर है, किसी भी असंगत ग्राफ जी को जुड़े हुए ग्राफ की एक सीमित संख्या के एकीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है - ऐसे जुड़े ग्राफों में से प्रत्येक को कहा जाता है घटक (जुड़ा हुआ)ग्राफ जी। (चित्र 10 में तीन घटकों के साथ एक ग्राफ दिखाता है।) मनमाने ढंग से ग्राफ के लिए कुछ बयानों का सबूत अक्सर आसानी से कनेक्टेड ग्राफ के लिए आसानी से किया जाता है, और फिर उन्हें प्रत्येक घटक को अलग से लागू करता है।

चक्रीय ग्राफ और पहियों । डिग्री 2 के जुड़े नियमित ग्राफ को बुलाया जाता है चक्रीय ग्राफ(या चक्र);चक्रीय ग्राफ। से पीशिखर को एन द्वारा दर्शाया गया है। कंपाउंड ग्राफ तथा
(पी≥ 3) फोन किया पहियासे पीशिखर और नामित डब्ल्यू एन . अंजीर में। 11 को चित्रित किया गया है से 6 तथा डब्ल्यू 6 ; ग्राफ डब्ल्यू 4 पहले से ही अंजीर में दिखाई दिया। 2।

3. यूलर कॉलम

जुड़ा ग्राफ जी यूलरयदि उसके प्रत्येक किनारे से गुजरने वाली एक बंद श्रृंखला है; ऐसी श्रृंखला कहा जाता है यूलर श्रृंखला।ध्यान दें कि इस परिभाषा को केवल एक बार प्रत्येक किनारे की आवश्यकता होती है। यदि आप श्रृंखला की बंद सीमा को हटाते हैं, तो ग्राफ को बुलाया जाता है समीलेर;साथ ही, प्रत्येक यूलर ग्राफ सेमिओलर होगा। अंजीर में। क्रमशः 13,14,15 चित्रित, यूलर, अर्ध-खिलाड़ियों और ईलेल ग्राफ नहीं।

"यूलर" नाम इस तथ्य के कारण हुआ कि आंखों ने पहले कोनिग्सबर्ग पुलों के बारे में प्रसिद्ध कार्य का फैसला किया था, जिसमें यह जानना आवश्यक था कि ग्राफ को चित्र में दिखाया गया था या नहीं। 15, यूलर चेन (नहीं)। सवाल तुरंत उठता है: क्या ग्राफ को यूलर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को ढूंढना संभव है

हम एक साधारण लेम्मा साबित करते हैं।

LEMMA 1. यदि ग्राफ़ जी के प्रत्येक शीर्षक की डिग्री दो से कम नहीं है, तो जी में एक चक्र होता है।

साक्ष्य। यदि ग्राफ़ जी में लूप या एकाधिक किनारों हैं, तो बयान स्पष्ट है; इसलिए, मान लें कि जी एक साधारण ग्राफ है। चलो ग्राफ जी के मनमाना शीर्ष बनें; हम आसन्न वर्टेक्स वी के वर्टेक्स वी 1 को चुनने, प्रेरण द्वारा मार्ग का निर्माण करते हैं, और मैं ≥1 - वी I +1 आसन्न वी का चयन करना और वी I -1 (इस तरह के एक कशेरुक वी I +1 का अस्तित्व लेम्मा की स्थिति से गारंटी है)। चूंकि जी में कोने की एक सीमित संख्या है, फिर अंत में हम शीर्ष पर आ जाएंगे जो पहले ही चुना गया है। मान लीजिए कि वी के पहले एक शीर्ष है; फिर दो प्रविष्टि वी एच के बीच झूठ बोलने वाले मार्ग का हिस्सा आवश्यक चक्र है।

प्रमेय 1. कनेक्टेड ग्राफ जी एक यूलर है यदि केवल तभी जब जी में प्रत्येक शीर्षक में डिग्री भी होती है।

साक्ष्य।
मान लीजिए कि पी ग्राफ जी में एक यूलर श्रृंखला है। फिर, ग्राफ़ के किसी भी शिखर के माध्यम से सर्किट पी के किसी भी पारित होने के साथ, इस शीर्ष की डिग्री दो से बढ़ जाती है। और चूंकि प्रत्येक किनारे को एक बार आर में पाया जाता है, इसलिए प्रत्येक वर्टेक्स में भी डिग्री होनी चाहिए।

हम जी में किनारों की संख्या से प्रेरण द्वारा सबूत करते हैं। कनेक्शन जी के कारण, प्रत्येक शीर्षक की डिग्री दो से कम नहीं है, और यहां से, पिछले लेम्मा के अनुसार, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ग्राफ जी में एक चक्र सी होता है। यदि सी ग्राफ जी के प्रत्येक किनारे से गुजरता है, तो सबूत पूरा हो गया है; यदि नहीं, तो, सी चक्र से संबंधित जी पसलियों से हटकर, हम एक नया (शायद असहोक) गिनती एन प्राप्त करते हैं। एच में किनारों की संख्या जी की तुलना में कम है, और एच में कोई भी वर्टेक्स अभी भी डिग्री है। अपरिवर्तनीय धारणा के अनुसार, गिनती एन के प्रत्येक घटक में एक यूलर श्रृंखला है। ग्राफ जी की कनेक्टिविटी के कारण, एच में प्रत्येक घटक में एक चक्र सी के साथ कम से कम एक आम शीर्ष होता है, इसलिए ग्राफ जी की वांछित यूलर श्रृंखला निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है: हम चक्र के छल्ले तक हम तक जाते हैं गिनती एच के असुरक्षित कशेरुक से मिलें, फिर यूलर श्रृंखला के अनुसार, एच में घटक, जिसमें निर्दिष्ट कशेरुक शामिल हैं; इसके बाद, हम सी चक्र की पसलियों का मार्ग जारी रखते हैं जब तक कि हम ग्राफ एन, आदि के किसी अन्य घटक से संबंधित वर्टेक्स का सामना नहीं करते।; प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब हम प्रारंभिक वर्टेक्स (चित्र 17) पर वापस आते हैं।

कोरोलरी 1. एक जुड़ा ग्राफ यूलर है अगर और केवल अगर उसकी पसलियों के परिवार को गैर-चक्रों में विभाजित किया जा सकता है।

कोरोलरी 2. कनेक्टेड ग्राफ अर्धिलर है यदि केवल तभी यदि इसमें दो से अधिक लंबवत नहीं हैं।

4. ग्राफ सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरण

1. "परिवहन" कार्य जिनमें ग्राफ के शिखर अंक होते हैं, और पसलियों - सड़कें (ऑटोमोबाइल, लौह, आदि) और / या अन्य परिवहन (उदाहरण के लिए, विमानन) मार्ग होते हैं। एक और उदाहरण आपूर्ति नेटवर्क (ऊर्जा आपूर्ति, गैस की आपूर्ति, माल की आपूर्ति, आदि) है, जिसमें शिखर उत्पादन और खपत के बिंदु हैं, और पसलियों आंदोलन के संभावित मार्ग (पावर लाइन, गैस पाइपलाइन, सड़कों आदि) हैं। । कार्गो प्रवाह, उत्पादन और खपत वस्तुओं, आदि के अनुकूलन की समस्याओं की संबंधित वर्ग को कभी-कभी सुरक्षा कार्यों या नौकरी कार्यों के रूप में जाना जाता है। उनके उपवर्ग कार्गो परिवहन के बारे में चुनौतियां हैं।

2. "तकनीकी कार्य" जिसमें शिखर उत्पादन तत्वों (पौधों, कार्यशालाओं, मशीनों, आदि) को प्रतिबिंबित करते हैं, और कच्चे माल की चाप, उनके बीच सामग्री और उत्पादों को उत्पादन तत्वों की इष्टतम लोडिंग निर्धारित करना और धाराओं की लोडिंग प्रदान करना है ।

3. विनिमय योजनाएं जो एक वस्तु विनिमय, रिश्तेदारों आदि के रूप में ऐसी घटनाओं के मॉडल हैं। ग्राफ के शिखर विनिमय योजना (श्रृंखला) में प्रतिभागियों का वर्णन करते हैं, और आर्क्स उनके बीच भौतिक और वित्तीय संसाधनों के प्रवाह होते हैं। यह कार्य विनिमय श्रृंखला को निर्धारित करना है, उदाहरण के लिए, विनिमय आयोजक और श्रृंखला के प्रतिभागियों और मौजूदा प्रतिबंधों के हितों के साथ समन्वित है

4. परियोजना प्रबंधन। (परियोजना प्रबंधन - प्रबंधन के सिद्धांत का अनुभाग, परिवर्तन बदलने के लिए तरीकों और तंत्र का अध्ययन (परियोजना को एक निश्चित प्रणाली में लक्षित परिवर्तन कहा जाता है, जो समय सीमा और प्रयुक्त संसाधनों के ढांचे में किया जाता है; किसी भी परियोजना की एक विशेषता विशेषता है इसकी विशिष्टता, यानी, संबंधित परिवर्तनों की अनियमितता।))। ग्राफ के सिद्धांत के दृष्टिकोण से, परियोजना उनके बीच संचालन और निर्भरताओं का एक सेट है। पाठ्यपुस्तक उदाहरण कुछ वस्तु बनाने के लिए एक परियोजना है। मॉडल और विधियों का सेट जो भाषा और ग्राफ के सिद्धांत और समस्या उन्मुख परियोजना प्रबंधन कार्यों के परिणामों का उपयोग कैलेंडर-नेटवर्क योजना और प्रबंधन (केएसपीयू) का नाम प्राप्त हुआ। केस्पू के हिस्से के रूप में, संचालन के अनुक्रम को निर्धारित करने और उनके बीच संसाधनों का वितरण, कुछ मानदंडों (परियोजना का समय, लागत इत्यादि) के संदर्भ में इष्टतम।

5. समाजशास्त्र में उपयोग किए जाने वाले समूहों और समूहों के मॉडल शिखर के रूप में लोगों या उनके समूहों के प्रतिनिधित्व पर आधारित हैं, और उनके बीच संबंध (उदाहरण के लिए, रिश्तों, विश्वास, सहानुभूति, आदि) - पसलियों के रूप में या आर्क। इस तरह के विवरण के हिस्से के रूप में, सामाजिक समूहों की संरचना का अध्ययन करने के कार्य, उनकी तुलना, समेकित संकेतकों की परिभाषा, तनाव, स्थिरता, बातचीत इत्यादि की डिग्री को दर्शाती है।

6. संगठनात्मक संरचनाओं के मॉडल जिसमें शिखर संगठनात्मक प्रणाली, और पसलियों या आर्क - संचार (सूचना, प्रबंधकों, तकनीकी, आदि) के तत्व हैं।

5. सबसे छोटे रास्ते के बारे में कार्य

उदाहरण 1. भेड़िया, बकरी और गोभी के बारे में कार्य। बकरी, गोभी और भेड़िया नदी के तट पर हैं; वाहक उन्हें नदी भर में भेजना चाहिए, लेकिन उसकी नाव इतनी छोटी है कि वह इन तीनों "यात्रियों" में से एक से अधिक नहीं ले सकता है। स्पष्ट कारणों से, पर्यवेक्षण के बिना एक बकरी के साथ भेड़िया छोड़ना असंभव है, और गोभी के साथ बकरी। वाहक कैसे करना चाहिए?

यह व्यापक रूप से ज्ञात कार्य आसानी से विचारों की एक छोटी संख्या के कारण आसानी से हल हो जाता है, फिर भी हमें सबसे छोटा रास्ता खोजने के बारे में कार्य का एक विशिष्ट उदाहरण: ग्राफ 1 में खींचा जाता है और एक पथ की तलाश में है स्थिति से अग्रणी ए (जब बकरी के, गोभी कैप, भेड़िया बी और वाहक पी सही बैंक पर होते हैं) बी (जब सबकुछ बाएं किनारे पर संसाधित होता है), वांछित पथ बोल्ड लाइनों के साथ आंकड़े में दिखाया जाता है ।

अधिक सामान्य मामले में, एक व्यवस्थित एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है, हम कई तरीकों को बताएंगे।

सबसे छोटा रास्ता का कार्य

एन + 1 शिखर के नेटवर्क को दिए जाने दें, यानी, एक उन्मुख ग्राफ जिसमें दो शिखर हाइलाइट किए जाते हैं - इनपुट (शून्य वर्टेक्स) और एक आउटपुट (संख्या एन के साथ वर्टेक्स)। प्रत्येक चाप के लिए, आर्क लंबाई नामक संख्या दी जाती है। पथ की लंबाई (समोच्च) को आर्क की लंबाई का योग कहा जाता है

(यदि आर्क लंबाई निर्दिष्ट नहीं की जाती है, तो पथ की लंबाई (समोच्च) को इसमें शामिल आर्क की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है)। यह कार्य नेटवर्क रिलीज के प्रवेश द्वार से सबसे छोटा पथ (न्यूनतम लंबाई पथ) ढूंढना है।

सबसे कम पथ के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक है और नकारात्मक लंबाई सर्किट की पर्याप्त कमी है।

मान लीजिए कि नेटवर्क में कोई संपर्क नहीं है। फिर आप हमेशा इस तरह के कोने को गिना जा सकता है कि किसी भी आर्क (आई, जे), जे\u003e मैं होता है। इस तरह की एक संख्या को सही कहा जाता है। यह दिखाना आसान है कि सर्किट के बिना नेटवर्क में हमेशा सही संख्या होती है।

निरूपित - आर्क लंबाई (i; j)। नेटवर्क में सबसे छोटा रास्ता जिसमें सही संख्या है, निम्नलिखित एल्गोरिदम द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एल्गोरिदम 1।

;

चरण के: हम सूचकांक द्वारा शीर्ष के नोट करते हैं
मैं।

आउटपुट इंडेक्स यह सबसे कम पथ की लंबाई के बराबर होगा। (गतिशील प्रोग्रामिंग समस्याओं के लिए एल्गोरिदम 1 बेल्मनमता के सिद्धांत को दर्शाता है: यदि दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजा जाता है, तो सबसे कम पथ के किसी भी दो बिंदुओं के बीच पथ की लंबाई भी न्यूनतम होनी चाहिए।) चित्रा 2 के उपयोग का एक उदाहरण दिखाता है एल्गोरिदम 1 सबसे छोटा पथ निर्धारित करने के लिए (आर्क्स आर्क की लंबाई के बराबर होते हैं, कोर्टिस इंडेक्स स्क्वायर ब्रैकेट में रखे जाते हैं, सबसे छोटा रास्ता डबल लाइनों द्वारा हाइलाइट किया जाता है)।

जब इंडेक्स (जिसे शिखर की क्षमताओं के कुछ कार्यों में कहा जाता है) स्थापित होते हैं, तो सबसे छोटा रास्ता रिवर्स मूव विधि द्वारा प्रवेश द्वार में प्रवेश करने से निर्धारित किया जाता है, यानी, सबसे छोटा तरीका पथ है
, ऐसा है कि
आदि।

निम्नलिखित एल्गोरिदम सामान्य मामले में सबसे छोटा रास्ता निर्धारित करना संभव बनाता है (जो कि शिखर की मनमानी संख्या के साथ)।

एल्गोरिदम 2 (फोर्ड एल्गोरिदम)।

चरण 0: हम इंडेक्स द्वारा शून्य वर्टेक्स को नोट करते हैं
, अन्य सभी शिखर सूचकांक
, i \u003d 1, n;

चरण के: हम सभी एआरसी पर विचार करते हैं। यदि चाप के लिए (i; j)
>फिर हम नए अर्थ की गणना करते हैं
;

सूचकांक एक सीमित संख्या के लिए निर्धारित हैं। निरूपित
- सूचकांक मानों की स्थापना की जिनमें निम्नलिखित संपत्ति है: मूल्य शून्य वर्टेक्स से वर्टेक्स I तक सबसे कम पथ की लंबाई के बराबर। वर्टेक्स 0 से वर्टेक्स तक सबसे छोटा रास्ता मैं रिवर्स स्ट्रोक विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि सभी आर्कों की लंबाई गैर-महत्वपूर्ण हैं, तो अगला एल्गोरिदम सबसे छोटा रास्ता खोजने के लिए लागू है।

एल्गोरिदम 3।

चरण 0: हम इंडेक्स द्वारा शून्य वर्टेक्स को नोट करते हैं
;

चरण के: कुछ शिखर पहले ही चिह्नित किए गए हैं। क्यू द्वारा निरूपित - लेबल के नजदीक असुरक्षित शिखर के बहुत सारे। प्रत्येक शीर्ष के लिए
परिमाण की गणना करें
जहां न्यूनतम सभी चिह्नित शिखर पर लिया जाता है, वेरटेक्स के के नजदीक। हम शीर्ष के को चिह्नित करते हैं, जिसके लिए मूल्य न्यूनतम, सूचकांक
.

हम उस प्रक्रिया को दोहराते हैं जब तक कि वेरटेक्स एन चिह्नित न हो जाए। सबसे छोटा रास्ता की लंबाई बराबर है और सबसे छोटा रास्ता खुद को ऊपर वर्णित के रूप में परिभाषित किया गया है।

इसी प्रकार, सबसे कम पथ का कार्य तैयार किया गया है और अधिकतम (लोनर) पथ का कार्य हल किया गया है - यह आर्क्स के संकेतों को विपरीत में बदलने और सबसे कम पथ के कार्य को हल करने के लिए पर्याप्त है। अस्तित्व में, अधिकतम पथ की समस्या आवश्यक है और सकारात्मक लंबाई के सर्किट की पर्याप्त कमी है।

चाप की लंबाई की लंबाई की अधिकतम विश्वसनीयता की खोज करने का कार्य उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, इसी तरह के दो बिंदुओं के बीच एक कनेक्शन है। रिवर्स साइन्स के साथ लिया गया उनके लॉगरिदम की लंबाई को प्रतिस्थापित करने के लिए, हमें लगता है कि स्रोत ग्राफ में अधिकतम विश्वसनीयता का मार्ग नए कॉलम में सबसे कम पथ के अनुरूप होगा।

उदाहरण 1।

अंजीर। 3. सबसे कम पथ के कार्य के लिए प्रारंभिक डेटा।

स्थिति को न केवल उन्मुख ग्राफ से वर्णित किया जा सकता है, बल्कि एक टेबल (तालिका 1) भी किया जा सकता है।

तालिका एक। सबसे कम पथ के कार्य के लिए प्रारंभिक डेटा

आर्क की शुरुआत

चाप का अंत

यात्रा का समय

कार्य से पूछा जाता है: शीर्ष 1 से शीर्ष 4 तक कैसे प्राप्त करें?

फेसला।हम पदनाम परिचय देते हैं: सी (टी) - वर्टेक्स 1 से सबसे कम पथ की लंबाई टी के शीर्ष पर। (चूंकि किसी भी मार्ग पर माना जाना चाहिए कि आर्क्स के होते हैं, और आर्क एक पूर्ण संख्या है, और प्रत्येक प्रवेश नहीं करता है एक से अधिक बार, कम से कम पथ के लिए आवेदक आइटम की अंतिम संख्या के न्यूनतम और न्यूनतम की संख्या हमेशा हासिल की जाती है।) विचाराधीन समस्या की गणना (4) की गणना होती है और उस पथ को इंगित करती है जिस पर यह न्यूनतम प्राप्त होता है।

अंजीर में दिखाए गए स्रोत डेटा के लिए। 3 और मेज में। 1, वर्टेक्स 3 में केवल एक तीर में प्रवेश करता है, बस कशेरुक 1 से, और इस तीर के बारे में इसकी लंबाई 1 के बराबर है, इसलिए, (3) \u003d 1 के साथ। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि (1) \u003d 0 के साथ।

Vertex 4 पर, आप या तो वर्टेक्स 2 से प्राप्त कर सकते हैं, 4 के बराबर पथ को पार कर सकते हैं, 4 के बराबर पथ को पारित कर सकते हैं। इसलिए, संबंध सी (4) \u003d न्यूनतम (सी (2) + 4 ; C (5) + 5)।

इस प्रकार, समस्या का पुनर्गठन किया गया था - (4) से ढूंढना (2) और (5) से ढूंढने के लिए कम हो गया है।

वर्टेक्स 5 पर, या तो वर्टेक्स 3 दर्ज करना संभव है, 2 के बराबर पथ को पारित करना, 3 के बराबर पथ पारित करना। इसलिए, अनुपात सी (5) \u003d न्यूनतम (सी (3) + 2; सी (6) + 3)।

हम जानते हैं कि (3) \u003d 1. इसलिए, (5) \u003d मिनट (3; सी (6) + 3) के साथ।

चूंकि यह स्पष्ट है कि (6) एक सकारात्मक संख्या है, फिर अंतिम अनुपात से यह निम्नानुसार है (5) \u003d 3।

वर्टेक्स 2 पर, कोई भी वर्टेक्स 1 प्राप्त करना संभव है, 7 या वर्टेक्स 3 के बराबर पथ को पारित करना, 5 के बराबर पथ को पारित करना, पथ 2 से गुजरना। इसलिए, का अनुपात सी (2) \u003d न्यूनतम (सी (1) + 7; सी (3) + 5; सी (5) + 2)।

हम जानते हैं कि (1) \u003d 0, सी (3) \u003d 1, सी (5) \u003d 3. इसलिए, (2) \u003d मिनट (0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) \u003d 5 के साथ।

अब हम सी (4) पा सकते हैं: सी (4) \u003d न्यूनतम (सी (2) + 4; सी (5) + 5) \u003d न्यूनतम (5 + 4; 3 + 5) \u003d 8।

इस प्रकार, सबसे कम पथ की लंबाई 8 है। आखिरी रिश्ते से यह स्पष्ट है कि वर्टेक्स 4 में वेरटेक्स 5 के माध्यम से जाना आवश्यक है। (5) से गणना में लौटने पर, हम देखते हैं कि शीर्ष 5 पर वर्टेक्स के माध्यम से जाना आवश्यक है। और शीर्ष 3 पर आप केवल वर्टेक्स 1 से प्राप्त कर सकते हैं। तो, सबसे छोटा रास्ता है: 1 → 3 → 5 → 4।

विशिष्ट स्रोत डेटा (चित्र 3 तालिका 1) के लिए सबसे कम पथ का कार्य पूरी तरह से हल किया गया है।

उदाहरण 2।

ट्रेन स्टेशन के लिए Akademgorodok (स्टॉप कलर ट्रैवल) से सबसे छोटा रास्ता (पथ लंबाई) खोजें।

रुकें:

रंगीन पास

बादा का घर

3.3 "- परमाणु भौतिकी संस्थान

4 स्नान №22।

5 रिवर स्टेशन

6 - सीवर

7 - कैफे "स्पार्क"

8 - सबसे

9 - मुख्य स्टेशन

शीर्ष 1 से कोर्टिस 9 तक सबसे छोटा रास्ता खोजें।

प्रारंभिक आंकड़े:

अंजीर। चार

तालिका। 2।

आर्क की शुरुआत

चाप का अंत

लंबाई पथ (किमी)

3,06

10,9

26,78

21,57

4,26

4,35

2,55

समाधान: सी (टी) - वर्टेक्स 1 से सबसे कम पथ की लंबाई टी के शीर्ष पर। हमें (9) से खोजने की जरूरत है।

सी (1) \u003d 0, सी (2) \u003d 3 (केवल एक तीर वर्टेक्स 2 में शामिल है, इसकी लंबाई 3 है)।

वर्टेक्स 9 पर, आप शीर्ष 5 से प्राप्त कर सकते हैं, शीर्ष 6 से पथ 4.35, पथ 25 से और वेरटेक्स 8 से, पथ 2.55 से गुजर रहा है।

इसलिए, (9) \u003d मिनट (सी (5) + 4.35; सी (6) + 25; सी (8) + 2.55)

इस प्रकार, (5), सी (6), सी (8) के साथ यह आवश्यक है।

वर्टेक्स 5 पर, आप शीर्ष 1 से बाहर निकल सकते हैं, पथ 26.78, या शीर्ष 7 से गुजरने के बाद, पथ 19 को पारित कर सकते हैं

सी (5) \u003d न्यूनतम (C (1) + 26.78; c (7) + 19)

(7) से ढूंढना आवश्यक है। Vertex 7 पर, आप 5.6 से गुजरने वाले 7.6 और 3 से 7.6 से बाहर 7.6 से गुजरने वाले वर्टेक्स 3 से प्राप्त कर सकते हैं।

सी (7) \u003d न्यूनतम (सी (3) + 7.6; सी (3 ") + 7.6) \u003d न्यूनतम (1.7 + 7.6; 3.06 + 7.6) \u003d 9.3

सी (5) \u003d न्यूनतम (26.78; 9.3+ 19) \u003d 26.78

वर्टेक्स 6 पर, आप शीर्ष 2 से प्राप्त कर सकते हैं, 0.5 के बराबर रास्ता पारित कर सकते हैं

C (6) \u003d c (2) + 0.5 \u003d 3 + 0.5 \u003d 3.5

Vertex 8 पर, आप शीर्ष 4 से बाहर निकल सकते हैं, 21.57 और वेरटेक्स 5 से, 4.62 पथ से गुजरने के लिए।

सी (8) \u003d न्यूनतम (सी (4) + 21,57; सी (5) + 4,26)

C (4) \u003d 10.9 (स्थिति से)।

सी (8) \u003d न्यूनतम (10,09+ 21,57; 26.78 + 4.26) \u003d 31.4

इसलिये

सी (9) \u003d न्यूनतम (26.78 + 4.35; 3.5 + 25; 31.4 + 2.55) \u003d न्यूनतम (31,13; 28.5; 33.95) \u003d 28.5

इस प्रकार, सबसे कम पथ की लंबाई 28.5 किमी के बराबर है।

सबसे छोटा रास्ता: 1 → 2 → 6 → 9।

6. अधिकतम धारा खोजने के लिए एल्गोरिथ्म

इस एल्गोरिदम का विचार स्रोत से नाली तक सकारात्मक धाराओं के साथ तरीकों से ढूंढना है।

(I, J) के साथ (प्रारंभिक) बैंडविड्थ पर विचार करें
। इन बैंडविड्थ के हिस्से के लिए एल्गोरिदम करने की प्रक्रिया में, इस एज के माध्यम से गुजरने वाले प्रवाह से "करीब", परिणामस्वरूप, प्रत्येक किनारे में अवशिष्ट बैंडविड्थ होगा। अभिलेख
अवशिष्ट बैंडविड्थ। जिस नेटवर्क में सभी किनारों में अवशिष्ट बैंडविड्थ होता है, चलो अवशिष्ट कॉल करते हैं।

एक मनमानी नोड जे के लिए नोड I से एक धारा प्राप्त करने के लिए, हम लेबल को परिभाषित करते हैं
कहां है - जे नोड से नोड I तक प्रवाह का मूल्य। अधिकतम स्ट्रीम खोजने के लिए, निम्नलिखित क्रियाएं करें।

प्रथम चरण।

सभी पसलियों के लिए, हम अवशिष्ट बैंडविड्थ के बराबर प्रारंभिक बैंडविड्थ, यानी रखेंगे। सुनिश्चित
=
। नियुक्त करना
और गाँठ 1 लेबल को चिह्नित करें। हम मानते हैं कि i \u003d 1।

चरण 2।

- नोड्स जे की बहुलता, जिसमें आप सकारात्मक अवशिष्ट बैंडविड्थ के साथ किनारे पर नोड I से जा सकते हैं \u003e 0 के लिए 0 । यदि एक
, हम 3 चरण करते हैं, अन्यथा हम 4 की ओर जाते हैं।

चरण 3।

में हमें एक नोड के, ऐसा लगता है
। डाल
और गाँठ के निशान को चिह्नित करें
। यदि के \u003d एन, पास-थ्रू पथ पाया जाता है, और 5 वें चरण में जाता है, अन्यथा हम मानते हैं कि i \u003d k और 2 चरण में वापस आते हैं।

चरण 4।

वापस रोल। यदि i \u003d 1, पथ के माध्यम से संभव नहीं है, और 6 पर जाएं
, हमें एक चिह्नित नोड आर मिलता है, जो सीधे नोड I से पहले, और इसे आर नोड के नजदीक नोड्स की बहुलता से हटा देता है। हम मानते हैं कि मैं \u003d आर और 2 चरण पर लौट आया।

चरण 5।

अवशिष्ट नेटवर्क का निर्धारण
। नोड्स की बहुलता से निंदा करें जिसके माध्यम से पी वें स्रोत नोड (नोड 1) से नाले नोड (नोड एन) से पथ के माध्यम से पाया गया। फिर इस पथ पर गुजरने वाली अधिकतम धारा

परिमाण की कमी के माध्यम से गठित पसलियों के अवशिष्ट बैंडविड्थ प्रवाह आंदोलन की दिशा में और विपरीत दिशा में एक ही मूल्य पर वृद्धि।

इसलिए पसलियों (मैं, जे) के लिए, जो पास-थ्रू पथ में शामिल है, वर्तमान अवशिष्ट बैंडविड्थ बदलते हैं:

1)
यदि प्रवाह नोड I से जे को आता है,

2)
यदि प्रवाह जे से I तक आता है।

चरण 6।

फेसला।

ए) के लिए m मिली अधिकतम धारा के माध्यम से पास किया जाता है

बी) प्रारंभिक मूल्य होना
और परिमित
रिब बैंडविड्थ (आई, जे), कोई इस बीच के माध्यम से इस किनारे के माध्यम से इष्टतम प्रवाह की गणना कर सकता है। डाल। यदि एक \u003e 0, किनारे के माध्यम से गुजरने वाली धारा (i, j) बराबर है । यदि एक \u003e 0, तो प्रवाह बराबर है । (मामला जब एक ही समय में \u003e 0 I. \u003e 0, असंभव)।

उदाहरण 1. नेटवर्क चावल में अधिकतम प्रवाह का पता लगाएं। एक

पुनरावृत्ति 1।
=

1)
और हम गाँठ 1 लेबल को चिह्नित करते हैं
। i \u003d 1।

2)

3) k \u003d 3, तब से। नियुक्त करना
और हम गाँठ 3 लेबल को चिह्नित करते हैं
। i \u003d 3 और 2 पर वापस आते हैं)

4)

5) k \u003d 5 और। हम नोट नोड 5 लेबल
। हम रास्ते से गुजरते हैं।

6) एंड-टू-एंड पथ टैग द्वारा निर्धारित किया जाता है, नोड 5 से शुरू होता है और नोड 1 के साथ समाप्त होता है :.
:

पुनरावृत्ति 2।

1)
और हम गाँठ 1 लेबल को चिह्नित करते हैं
। i \u003d 1।

2)

3) के \u003d 2, और टैग 2 लेबल
। i \u003d 2 और 2 पर वापस आते हैं)

2")

3") k \u003d 3 और
। हम गाँठ 3 लेबल नोट करते हैं
। i \u003d 3 और 2 पर वापस आते हैं)

2 ")
(
इसलिए नोड 5 में चालू नहीं होता है

3 ") k \u003d 4,
और हम नोड 4 लेबल को चिह्नित करते हैं
। i \u003d 4 और 2 पर वापस आते हैं)

2""")
(चूंकि नोड्स 1 और 3 को चिह्नित किया गया है, इसलिए इनमें शामिल नहीं हैं )

3""") k \u003d 5 और
। हम नोट नोड 5 लेबल
। अंत-टू-एंड पथ प्राप्त किया जाता है। 5 पर जाएं)

5)
तथा। पथ के साथ अवशिष्ट बैंडविड्थ की गणना करें :

पुनरावृत्ति 3।

1)
और हम गाँठ 1 लेबल को चिह्नित करते हैं
। i \u003d 1।

2)

3) k \u003d 2,
और हम गाँठ 2 लेबल को चिह्नित करते हैं
। i \u003d 2 और 2 पर वापस आते हैं)

2")

अंजीर। 2. उदाहरण 2 के लिए स्रोत डेटा

परिवहन प्रणाली पर प्रारंभिक डेटा, उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाए गए इंट्रापैनेंट। 2, आप तालिका (तालिका 2) भी सेट कर सकते हैं।

तालिका 2। अधिकतम स्ट्रीम के कार्य के लिए स्रोत डेटा

प्रस्थान बिंदु

गंतव्य

बैंडविड्थ

जाहिर है, परिवहन प्रणाली का अधिकतम थ्रूपुट 6 से अधिक नहीं है, क्योंकि शुरुआती धारा 0, अर्थात्, अनुच्छेद 1, 3 के अनुच्छेद 1, 3 में से 2 इकाइयों को 6 से अधिक इकाइयां नहीं भेजी जा सकती हैं। अनुच्छेद 3. अगला, बिंदु 0 से प्रकाशित सभी 6 वस्तुओं को प्राप्त करना आवश्यक है। जाहिर है, अनुच्छेद 1 में आने वाली 2 इकाइयां सीधे धारा 4 को भेजी जा सकती हैं। अनुच्छेद 2 में आने वाले सामान विभाजित किया जाना चाहिए: 2 इकाइयां तुरंत अनुच्छेद 4, और 1 इकाई को भेजें - मध्यवर्ती अनुच्छेद 3 में (अनुच्छेद 2 और 4 के बीच साइट की सीमित बैंडविड्थ के कारण)। अनुच्छेद 3 ने इस तरह के सामान वितरित किए: धारा 0 से 1 इकाई और अनुच्छेद 3 से 1 इकाई। उन्हें धारा 4 में भेजा जाता है। तो, विचाराधीन परिवहन प्रणाली का अधिकतम थ्रूपुट कार्गो की 6 इकाइयां है। साथ ही, आंतरिक खंडों (शाखाओं) का उपयोग अनुच्छेद 1 और 2 के साथ-साथ पैराग्राफ 1 और 3 के बीच भी नहीं किया जाता है। पैराग्राफ 1 और 4 के बीच की शाखा लागू नहीं होती है - 3 इकाइयों पर कार्गो की 2 इकाइयां निर्देशित होती हैं यह। समाधान को एक तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है (तालिका 3)

टेबल तीन। अधिकतम धारा की समस्या को हल करना

प्रस्थान बिंदु

गंतव्य

परिवहन योजना

बैंडविड्थ

प्रवाह को अधिकतम करते समय रैखिक प्रोग्रामिंग का कार्य।आइए रैखिक प्रोग्रामिंग के संदर्भ में अधिकतम स्ट्रीम के कार्य का निर्माण दें। अंजीर के अनुसार एक्स किमी को बिंदु से पैराग्राफ एम तक परिवहन की मात्रा हो। 2 के \u003d 0,1,2,3, एम \u003d 1,2,3,4, और परिवहन केवल बड़ी संख्या के साथ आइटम के लिए संभव है। इसका मतलब है कि 9 वेरिएबल एक्स किमी, अर्थात्, एक्स 01, एक्स 02, एक्स 03, एक्स 12, एक्स 13, एक्स 14, एक्स 23, एक्स 24, एक्स 34. रैखिक प्रोग्रामिंग का कार्य, प्रवाह को अधिकतम करने के उद्देश्य से , फॉर्म है:

एफ → मैक्स,

X 01। + X 02। + X 03। = F (0)

– X 01। + X 12। + X 13। + X 14 \u003d 0 (1)

– X 02। - X 12। + X 23। + X 24 \u003d 0 (2)

– X 03। - X 13। - X 23। + X 34 \u003d 0 (3)

– X 14। - X 24। - X 34 \u003d - f (4)

X 01 ≤ 2

X 02 ≤ 3

X 03 ≤ 1

X 12 ≤ 4

X 13 ≤ 1

X 14 ≤ 3

X 23 ≤ 1

X 24 ≤ 2

X 34 ≤ 2

एक्स किमी ≥ 0, के, एम \u003d 0, 1, 2, 3, 4

F ≥ 0।

यहां एफ लक्ष्य समारोह है, हालत (0) परिवहन प्रणाली में माल की प्रविष्टि का वर्णन करता है। शर्तें (1) - (3) सिस्टम के 1-3 नोड्स के लिए बैलेंस अनुपात सेट करें। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक आंतरिक नोड्स के लिए, माल का आने वाला धागा आउटगोइंग प्रवाह के बराबर होता है, भार अंदर और सिस्टम को जमा नहीं करता है और इसमें "जन्म" नहीं होता है। हालत (4) सिस्टम से माल के "आउटपुट" की स्थिति है। हालत (0) के साथ, यह पूरी तरह से सिस्टम के लिए एक संतुलन अनुपात है ("प्रविष्टि" "आउटपुट" के बराबर है)। निम्नलिखित नौ असमानताएं परिवहन प्रणाली की व्यक्तिगत "शाखाओं" की बैंडविड्थ पर प्रतिबंध निर्धारित करती हैं। फिर परिवहन वॉल्यूम्स और लक्ष्य फ़ंक्शन की गैर-नकारात्मकता इंगित की जाती है। यह स्पष्ट है कि अंतिम असमानता लक्ष्य समारोह (संबंध (0) या (4)) और गैर-नकारात्मक परिवहन खंडों के प्रकार से बहती है। हालांकि, आखिरी असमानता में कुछ समग्र जानकारी होती है - सिस्टम के माध्यम से या तो कार्गो की सकारात्मक मात्रा को याद किया जा सकता है, या शून्य (उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम के अंदर एक सर्कल में चलता है), लेकिन नकारात्मक नहीं है (इसका आर्थिक अर्थ नहीं है (इसका आर्थिक अर्थ नहीं है (इसका आर्थिक अर्थ नहीं है , लेकिन इसके बारे में औपचारिक गणितीय मॉडल "जानता है")।

निष्कर्ष

इस पेपर में, हमने आवश्यक न्यूनतम अवधारणाओं की समीक्षा की जो हमें ग्राफ के सिद्धांत के अध्ययन को जारी रखने की अनुमति देते हैं। आखिरकार, हमें केवल एक विशाल हिमशैल के शीर्ष पर छुआ गया, जो आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए कुछ दृष्टिकोणों को बढ़ा रहा था। ग्राफ का सिद्धांत कुछ व्यक्तिगत घटनाओं या प्रक्रियाओं के अध्ययन तक ही सीमित नहीं है, यह विभिन्न प्रकार की विज्ञान और प्रौद्योगिकी में उपयोग करता है।

सबसे कम पथ की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और अधिकतम प्रवाह को खोजने के लिए, उदाहरणों को अलग किया जाता है। उनके उदाहरण में, ग्राफ के सिद्धांत का महत्व आर्थिक कार्यों को अनुकूलित करने के लिए दिखाया गया था।

हमारे दैनिक जीवन के बारे में सबसे कम पथ का उदाहरण भी संकलित और हल किया जाता है। यह कार्य सबसे छोटा रास्ता (किमी में सड़क की लंबाई (किमी में सड़क की लंबाई) को ढूंढना था। Akademgorodka (स्टॉप कलर ट्रैवल) से मुख्य के स्टेशन तक।

ग्रन्थसूची

"सोरोस एजुकेशनल जर्नल" №11 1 99 6 (कला। "फ्लैट ग्राफ");

"गणित के शिक्षक की मदद करने के लिए", योशकर-ओला, 1 9 72 कला। "ग्राफ के सिद्धांत के तत्वों का अध्ययन"

बर्गर, के। टोरिया ग्राफ और इसके आवेदन। / के। एस बेर्ज.- एम।: आईएल, 2007.-178С।

बुर्कोव, वीएन। ग्राफ के सिद्धांत के तत्व। / सी। N. बुर्कोव। - एम।: शिक्षा, 2010.-352 सी।

गार्डनर, एम। "गणितीय अवकाश" के साथ। / एम एस गार्डनर.- एम।: "शांति", 2004.-347 सी।

गार्डनर, एम एस। "गणितीय पहेली और मनोरंजन।" / एम गार्डनर के साथ।-एम। : "मीर", 2005. -221 सी।

Zykov, ए। ए। परिमित ग्राफ का सिद्धांत। / A. A. Zykov। - नोवोसिबिर्स्क: "विज्ञान", 2006. -257 सी।

Kasatkin, V.n. "गणित के असामान्य कार्य।" / वी। एन। कासतकिन। - कीव: "राडियांस्क स्कूल", 2007. -232 सी।

ओलोचनिक, एस एन। "प्राचीन मनोरंजक कार्य।" / सीएन। Olelnik.- एम। "विज्ञान", 2008. -431 सी।

अयस्क, ओ एस। "ग्राफ और उनके आवेदन।" / ओह। एस ओरे.- एम।: "शांति", 2005-269 सी।

रेनी, ए एन। "मैथमैटिक्स की त्रयी ./ ए एन रेनी.- एम।:" शांति ", 2010-198 सी।